ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте заданное выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) $\sqrt{1,3}$

б) $\sqrt[7]{\frac{3}{5}}$

в) $\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$

г) $\sqrt[3]{4,3}$

Представить заданное выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) $\sqrt{1,3} = \sqrt[2]{1,3} = 1,3^{\frac{1}{2}} = 1,3^{0,5}$;
Ответ: $1,3^{0,5}$.

б) $\sqrt[7]{\frac{3}{5}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{7}}$;
Ответ: $\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{7}}$.

в) $\sqrt[4]{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{0,25}$;
Ответ: $\left(\frac{2}{3}\right)^{0,25}$.

г) $\sqrt[3]{4,3} = 4,3^{\frac{1}{3}}$;
Ответ: $4,3^{\frac{1}{3}}$.

а) $\sqrt{1,3}$

Шаг 1: Представление в виде корня

Мы начинаем с выражения $\sqrt{1,3}$. Это — квадратный корень из числа 1,3.

По определению, $\sqrt{a}$ можно записать как степень с показателем $\frac{1}{2}$. То есть:

$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}.$$

Следовательно:

$$\sqrt{1,3} = 1,3^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 2: Переводим в десятичную дробь

Также, как дробь $\frac{1}{2}$, так и десятичная форма 0,5 являются одинаковыми по смыслу. Таким образом, можно записать:

$$1,3^{\frac{1}{2}} = 1,3^{0,5}.$$

Ответ:

$$1,3^{0,5}.$$

б) $\sqrt[7]{\frac{3}{5}}$

Шаг 1: Представление в виде корня

У нас есть выражение $\sqrt[7]{\frac{3}{5}}$, которое представляет собой 7-й корень из числа $\frac{3}{5}$.

По аналогии с дробными степенями, корень с индексом $n$ можно записать как степень с дробным показателем $\frac{1}{n}$. В этом случае мы имеем:

$$\sqrt[7]{\frac{3}{5}} = \left( \frac{3}{5} \right)^{\frac{1}{7}}.$$

Ответ:

$$\left( \frac{3}{5} \right)^{\frac{1}{7}}.$$

в) $\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$

Шаг 1: Представление в виде корня

В данном выражении $\sqrt[4]{\frac{2}{3}}$ мы извлекаем 4-й корень из дроби $\frac{2}{3}$. Аналогично предыдущим случаям, это можно записать как степень с показателем $\frac{1}{4}$.

Итак:

$$\sqrt[4]{\frac{2}{3}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{4}}.$$

Шаг 2: Десятичное представление дроби

Мы можем представить показатель степени в виде десятичной дроби, которая соответствует $\frac{1}{4}$, то есть $0,25$.

Таким образом:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{4}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{0,25}.$$

Ответ:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{0,25}.$$

г) $\sqrt[3]{4,3}$

Шаг 1: Представление в виде корня

В выражении $\sqrt[3]{4,3}$ мы извлекаем 3-й корень из числа 4,3. Как и в предыдущих примерах, корень с индексом 3 можно представить как степень с показателем $\frac{1}{3}$.

Таким образом:

$$\sqrt[3]{4,3} = 4,3^{\frac{1}{3}}.$$

Ответ:

$$4,3^{\frac{1}{3}}\mathrm{.}$$