ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) ${(1+c^{\frac{1}{2}})}^2-2c^{\frac{1}{2}}$

б) ${(m^{\frac{1}{4}}-m^{\frac{1}{3}})}^2+2m^{\frac{7}{12}}$

в) ${(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})}^2+2x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}$

г) $\sqrt{b}+\sqrt{c}-{(b^{\frac{1}{4}}+c^{\frac{1}{4}})}^2$

Упростить выражение:

а) $\left(1 + c^{\frac{1}{2}}\right)^2 — 2c^{\frac{1}{2}} = 1^2 + 2c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{2}{2}} — 2c^{\frac{1}{2}} = 1 + c$;
Ответ: $1 + c$.

б) $\left(m^{\frac{1}{4}} — m^{\frac{1}{3}}\right)^2 + 2m^{\frac{7}{12}} = m^{\frac{2}{4}} — 2m^{\frac{1}{4}}m^{\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}} =$
$= m^{\frac{1}{2}} — 2m^{\frac{7}{12}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}} = \sqrt{m} + \sqrt[3]{m^2}$;
Ответ: $\sqrt{m} + \sqrt[3]{m^2}$.

в) $\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}} — 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{2}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = x + y$;
Ответ: $x + y$.

г) $\sqrt{b} + \sqrt{c} — \left(b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \sqrt{b} + \sqrt{c} — \left(b^{\frac{2}{4}} + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{2}{4}}\right) =$
$= b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}} — 2\sqrt[4]{bc} — c^{\frac{1}{2}} = -2\sqrt[4]{bc}$;
Ответ: $-2\sqrt[4]{bc}$.

а) $\left(1 + c^{\frac{1}{2}}\right)^2 — 2c^{\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Развернем квадрат $\left(1 + c^{\frac{1}{2}}\right)^2$.
Используем формулу для квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Здесь $a = 1$ и $b = c^{\frac{1}{2}}$, поэтому:

$$\left(1 + c^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{2}} + \left(c^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c.$$

Шаг 2: Подставляем это в исходное выражение.
Теперь подставляем разложение квадрата в исходную формулу:

$$\left(1 + c^{\frac{1}{2}}\right)^2 — 2c^{\frac{1}{2}} = 1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c — 2c^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 3: Сокращаем одинаковые члены.
Замечаем, что $2c^{\frac{1}{2}}$ и $-2c^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются:

$$1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c — 2c^{\frac{1}{2}} = 1 + c.$$

Ответ:

$$1 + c.$$

б) $\left(m^{\frac{1}{4}} — m^{\frac{1}{3}}\right)^2 + 2m^{\frac{7}{12}}$

Шаг 1: Развернем квадрат $\left(m^{\frac{1}{4}} — m^{\frac{1}{3}}\right)^2$.
Используем формулу для квадрата разности:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.$$

Здесь $a = m^{\frac{1}{4}}$ и $b = m^{\frac{1}{3}}$. Раскроем квадрат:

$$\left(m^{\frac{1}{4}} — m^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \left(m^{\frac{1}{4}}\right)^2 — 2 \cdot m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{3}} + \left(m^{\frac{1}{3}}\right)^2.$$

Шаг 2: Упростим каждое из выражений.

1. $\left(m^{\frac{1}{4}}\right)^2 = m^{\frac{2}{4}} = m^{\frac{1}{2}}.$
2. $m^{\frac{1}{4}} \cdot m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = m^{\frac{3}{12} + \frac{4}{12}} = m^{\frac{7}{12}}.$
3. $\left(m^{\frac{1}{3}}\right)^2 = m^{\frac{2}{3}}.$

Итак, квадрат разности раскладывается как:

$$\left(m^{\frac{1}{4}} — m^{\frac{1}{3}}\right)^2 = m^{\frac{1}{2}} — 2m^{\frac{7}{12}} + m^{\frac{2}{3}}.$$

Шаг 3: Подставляем это в исходное выражение.
Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$\left(m^{\frac{1}{4}} — m^{\frac{1}{3}}\right)^2 + 2m^{\frac{7}{12}} = m^{\frac{1}{2}} — 2m^{\frac{7}{12}} + m^{\frac{2}{3}} + 2m^{\frac{7}{12}}.$$

Шаг 4: Сокращаем одинаковые члены.
Смотрим на члены $-2m^{\frac{7}{12}}$ и $+2m^{\frac{7}{12}}$, они взаимно уничтожаются:

$$m^{\frac{1}{2}} + m^{\frac{2}{3}}.$$

Шаг 5: Записываем окончательный результат.
Преобразуем степени:

$$m^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m}, \quad m^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{m^2}.$$

Ответ:

$$\sqrt{m} + \sqrt[3]{m^2}.$$

в) $\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Развернем квадрат $\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)^2$.
Используем формулу для квадрата разности:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.$$

Здесь $a = x^{\frac{1}{2}}$ и $b = y^{\frac{1}{2}}$. Раскроем квадрат:

$$\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)^2 = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 — 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} + \left(y^{\frac{1}{2}}\right)^2.$$

Шаг 2: Упростим каждое из выражений.

1. $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 = x.$
2. $x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = (xy)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{xy}.$
3. $\left(y^{\frac{1}{2}}\right)^2 = y.$

Итак, квадрат разности раскладывается как:

$$\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)^2 = x — 2\sqrt{xy} + y.$$

Шаг 3: Подставляем это в исходное выражение.
Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = x — 2\sqrt{xy} + y + 2\sqrt{xy}.$$

Шаг 4: Сокращаем одинаковые члены.
Члены $-2\sqrt{xy}$ и $+2\sqrt{xy}$ взаимно уничтожаются:

$$x + y.$$

Ответ:

$$x + y.$$

г) $\sqrt{b} + \sqrt{c} — \left(b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}}\right)^2$

Шаг 1: Развернем квадрат $\left(b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}}\right)^2$.
Используем формулу для квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Здесь $a = b^{\frac{1}{4}}$ и $b = c^{\frac{1}{4}}$. Раскроем квадрат:

$$\left(b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left(b^{\frac{1}{4}}\right)^2 + 2 \cdot b^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} + \left(c^{\frac{1}{4}}\right)^2.$$

Шаг 2: Упростим каждое из выражений.

1. $\left(b^{\frac{1}{4}}\right)^2 = b^{\frac{2}{4}} = b^{\frac{1}{2}}.$
2. $b^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} = (bc)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{bc}.$
3. $\left(c^{\frac{1}{4}}\right)^2 = c^{\frac{2}{4}} = c^{\frac{1}{2}}.$

Таким образом, квадрат суммы раскладывается как:

$$\left(b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}}\right)^2 = b^{\frac{1}{2}} + 2\sqrt[4]{bc} + c^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 3: Подставляем это в исходное выражение.
Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$\sqrt{b} + \sqrt{c} — \left(b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \sqrt{b} + \sqrt{c} — \left(b^{\frac{1}{2}} + 2\sqrt[4]{bc} + c^{\frac{1}{2}}\right).$$

Шаг 4: Сокращаем одинаковые члены.
Члены $\sqrt{b}$ и $-b^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt{c}$ и $-c^{\frac{1}{2}}$ сокращаются, и остаётся:

$$-2\sqrt[4]{bc}.$$

Ответ:

$$-2\sqrt[4]{bc}\mathrm{.}$$