ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}-\frac{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}{a-b}$$

б)

$$\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}+\frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}$$

Упростить выражение:

а)

$$\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}-\frac{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}{a-b}=\frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}-\frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a+a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}+b)}{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}=$$

$$\frac{a — b}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{a — b} = \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} — \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)}{\left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)} =$$ $$=\frac{{(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}^2}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}-\frac{a+a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}+b}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}=\frac{(a+2a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}+b)-(a+a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}+b)}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}=$$

$$= \frac{\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) — (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} =$$ $$= \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$.

б)

$$\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}+\frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}=\frac{x^{\frac{1}{2}}\cdot (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})}{(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})}+\frac{y^{\frac{1}{2}}\cdot (x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})}=$$

$$\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right)} =$$ $$= \frac{\left(x — x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\right) + \left(x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y\right)}{x — y} = \frac{x + y}{x — y};$$

Ответ: $\frac{x + y}{x — y}$.

а) Упростить выражение:

$$\frac{a — b}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}} — \frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{a — b}$$

Шаг 1: Преобразуем первую дробь

Рассмотрим:

$$\frac{a — b}{a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}}$$

Знаменатель — разность квадратных корней. Мы знаем формулу разности квадратов:

$$A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)$$

Но у нас в числителе стоит $a — b$, а в знаменателе — $\sqrt{a} — \sqrt{b}$. Попробуем представить числитель как:

$$a — b = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$$

Проверка:

$$(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a — b \Rightarrow \text{подходит!}$$

Значит:

$$\frac{a — b}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

Шаг 2: Преобразуем вторую дробь

Рассмотрим:

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{a — b}$$

Это разность степеней вида $x^{3/2}$. Это можно расписать с помощью формулы разности кубов, если заметим, что:

$$a^{\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^3,\quad b^{\frac{3}{2}} = \left(b^{\frac{1}{2}}\right)^3$$

А значит, используем формулу:

$$x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)$$

Подставим:

$$a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right)$$

Теперь:

$$\frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{a — b} = \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(a + \sqrt{a}\sqrt{b} + b)}{a — b}$$

Но $a — b = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, как мы выяснили.

Подставим это:

$$\frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} \Rightarrow \text{сократим } (\sqrt{a} — \sqrt{b})$$

Остается:

$$\frac{a + \sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

Шаг 3: Подставим всё в исходное выражение

Исходное выражение было:

$$\frac{a — b}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}}{a — b}$$

Теперь:

• Первая дробь: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$
• Вторая дробь: $\frac{a + \sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

Подставим:

$$\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) — \frac{a + \sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю

Преобразуем первую часть:

$$\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

Потому что:

$$\frac{(A)^2}{A} = A,\quad A = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

Теперь:

$$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 — (a + \sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

Вычислим числитель:

• $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$
• Вычитаем: $a + \sqrt{ab} + b$

$$(a + 2\sqrt{ab} + b) — (a + \sqrt{ab} + b) = \sqrt{ab}$$

Значит, весь числитель:

$$\sqrt{ab}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

б) Упростить выражение:

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}}$$

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю

Общий знаменатель:

$$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y}) = x — y \quad \text{(формула разности квадратов)}$$

Шаг 2: Домножаем дроби на недостающие множители

Первая дробь:

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} — \sqrt{y})}{x — y}$$

Вторая дробь:

$$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x — y}$$

Шаг 3: Складываем дроби

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель, можно сложить числители:

$$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} — \sqrt{y}) + \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x — y}$$

Раскроем скобки в числителе:

• $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x$
• $\sqrt{x} \cdot (-\sqrt{y}) = -\sqrt{xy}$
• $\sqrt{y} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{xy}$
• $\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = y$

Складываем:

$$x — \sqrt{xy} + \sqrt{xy} + y = x + y$$

Ответ:

$$\frac{x+y}{x-y}$$