ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$({\left(\frac{1}{25}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 7^{-1}-{\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-3}):{49}^{-\frac{1}{2}}$$

б)

$$\frac{8^{-\frac{1}{3}}\cdot {25}^{-\frac{1}{2}}-2^{-1}}{{64}^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}$$

Вычислить значение:

а)

$$({\left(\frac{1}{25}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 7^{-1}-{\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-3}):{49}^{-\frac{1}{2}}=$$

$$\left(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1} — \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3}\right) : 49^{-\frac{1}{2}} =$$ $$=((5^{-2}{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 7^{-1}-(8^{-1}{)}^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-3}):(7^2{)}^{-\frac{1}{2}}=(5\cdot \frac{1}{7}-8^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{-3}):7^{-1}=$$

$$= \left((5^{-2})^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1} — (8^{-1})^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3}\right) : (7^2)^{-\frac{1}{2}} = \left(5 \cdot \frac{1}{7} — 8^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3}\right) : 7^{-1} =$$ $$=(\frac{5}{7}-(2^3{)}^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{-3}):\frac{1}{7}=(\frac{5}{7}-2^1\cdot 2^{-3})\cdot 7=(\frac{5}{7}-2^{-2})\cdot 7=$$

$$= \left(\frac{5}{7} — (2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3}\right) : \frac{1}{7} = \left(\frac{5}{7} — 2^1 \cdot 2^{-3}\right) \cdot 7 = \left(\frac{5}{7} — 2^{-2}\right) \cdot 7 =$$ $$= \left(\frac{5}{7} — \frac{1}{2^2}\right) \cdot 7 = \left(\frac{5}{7} — \frac{1}{4}\right) \cdot 7 = \frac{5 \cdot 4 — 7}{7 \cdot 4} \cdot 7 = \frac{20 — 7}{4} = \frac{13}{4} = 3,25;$$

Ответ: 3,25.

б)

$$\frac{8^{-\frac{1}{3}}\cdot {25}^{-\frac{1}{2}}-2^{-1}}{{64}^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}=\frac{(2^3{)}^{-\frac{1}{3}}\cdot (5^2{)}^{-\frac{1}{2}}-2^{-1}}{(2^6{)}^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}=\frac{2^{-1}\cdot 5^{-1}-2^{-1}}{2^{\frac{3}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}=$$

$$\frac{8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}} — 2^{-1}}{64^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = \frac{(2^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot (5^2)^{-\frac{1}{2}} — 2^{-1}}{(2^6)^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^{-1} \cdot 5^{-1} — 2^{-1}}{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}} =$$ $$= \frac{1}{2^2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} — \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{10} — \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 — 5}{10} = -\frac{4}{4 \cdot 10} = -\frac{1}{10};$$

Ответ: $-\frac{1}{10}$.

а)

Вычислить:

$$\left(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1} — \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3}\right) \div 49^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 1. Преобразуем каждое основание

• $\frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$
• $\left(5^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}} = 5^{(-2) \cdot (-\frac{1}{2})} = 5^1 = 5$
• $7^{-1} = \frac{1}{7}$
• $\frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$
• $(2^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 2^{(-3)\cdot(-\frac{1}{3})} = 2^1 = 2$
• $2^{-3} = \frac{1}{8}$
• $49 = 7^2 \Rightarrow 49^{-\frac{1}{2}} = (7^2)^{-\frac{1}{2}} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$

Шаг 2. Собираем всё по частям

В числителе:

$$\left(5 \cdot \frac{1}{7}\right) — \left(2 \cdot \frac{1}{8}\right) = \frac{5}{7} — \frac{2}{8} = \frac{5}{7} — \frac{1}{4}$$

Шаг 3. Найдём общий знаменатель и вычтем

Наименьший общий знаменатель для 7 и 4 — 28:

$$\frac{5}{7} = \frac{20}{28}, \quad \frac{1}{4} = \frac{7}{28} \Rightarrow \frac{20 — 7}{28} = \frac{13}{28}$$

Теперь делим это на $\frac{1}{7}$, то есть:

$$\frac{13}{28} \div \frac{1}{7} = \frac{13}{28} \cdot 7 = \frac{91}{28}$$

Упростим:

$$\frac{91}{28} = \frac{13}{4} = 3{,}25$$

Ответ:

$$\boxed{3{,}25}$$

б)

Вычислить:

$$\frac{8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}} — 2^{-1}}{64^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}$$

Шаг 1. Разложим по простым основаниям

• $8 = 2^3 \Rightarrow (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-1}$
• $25 = 5^2 \Rightarrow (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{-1}$

Значит:

$$8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$$

• $2^{-1} = \frac{1}{2}$

В числителе:

$$\frac{1}{10} — \frac{1}{2} = \frac{1 — 5}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$$

Шаг 2. Вычислим знаменатель

• $64 = 2^6 \Rightarrow (2^6)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}$
• $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

Теперь:

$$2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 2^2 = 4$$

Шаг 3. Итоговое выражение

$$\frac{-\frac{2}{5}}{4} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{2}{20} = -\frac{1}{10}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{1}{10}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{3{,}25}$

б) $\boxed{-\frac{1}{10}}$