ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t-4}-\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}-2}$$

б)

$$\frac{2}{y^{\frac{1}{4}}+3}-\frac{2}{y^{\frac{1}{4}}-3}$$

Найти значение выражения:

а)

$$\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t — 4} — \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} — 2} = \frac{2t^{\frac{1}{2}} — (t^{\frac{1}{2}} + 2)}{(t^{\frac{1}{2}} — 2)(t^{\frac{1}{2}} + 2)} = \frac{t^{\frac{1}{2}} — 2}{t — 4} = \frac{\sqrt{t} — 2}{t — 4};$$

Если $y = 9$, тогда:

$$\frac{\sqrt{t} — 2}{t — 4} = \frac{\sqrt{9} — 2}{9 — 4} = \frac{3 — 2}{5} = \frac{1}{5} = 0,2;$$

Ответ: 0,2.

б)

$$\frac{2}{y^{\frac{1}{4}} + 3} — \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} — 3} = \frac{2(y^{\frac{1}{4}} — 3) — 2(y^{\frac{1}{4}} + 3)}{(y^{\frac{1}{4}} — 3)(y^{\frac{1}{4}} + 3)} = \frac{-12}{y^{\frac{1}{2}} — 9} = -\frac{12}{\sqrt{y} — 9};$$

Если $y = 100$, тогда:

$$-\frac{12}{\sqrt{y} — 9} = -\frac{12}{\sqrt{100} — 9} = -\frac{12}{10 — 9} = -12;$$

Ответ: –12.

а)

Вычислить:

$$\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t — 4} — \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} — 2}$$

Шаг 1: Заметим разность квадратов в знаменателе

$$\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{(t^{\frac{1}{2}} — 2)(t^{\frac{1}{2}} + 2)} — \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} — 2}$$

Шаг 2: Приведём к общему знаменателю

Приведём вторую дробь к тому же знаменателю:

$$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} — 2} = \frac{t^{\frac{1}{2}} + 2}{(t^{\frac{1}{2}} — 2)(t^{\frac{1}{2}} + 2)}$$

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель, можно объединить числители:

$$\frac{2t^{\frac{1}{2}} — (t^{\frac{1}{2}} + 2)}{(t^{\frac{1}{2}} — 2)(t^{\frac{1}{2}} + 2)}$$

Шаг 3: Раскрываем скобки в числителе

$$2t^{\frac{1}{2}} — t^{\frac{1}{2}} — 2 = t^{\frac{1}{2}} — 2$$

Шаг 4: Получаем выражение

$$\frac{t^{\frac{1}{2}} — 2}{(t^{\frac{1}{2}} — 2)(t^{\frac{1}{2}} + 2)}$$

Сокращаем одинаковый множитель $t^{\frac{1}{2}} — 2$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 2}$$

Однако в оригинальном тексте сокращение не производилось, и финальное выражение выглядело как:

$$\frac{t^{\frac{1}{2}} — 2}{t — 4} \quad \text{или} \quad \frac{\sqrt{t} — 2}{t — 4}$$

Так тоже можно оставить, как более простую форму.

Шаг 5: Подставим значение $t = 9$

$$\frac{\sqrt{9} — 2}{9 — 4} = \frac{3 — 2}{5} = \frac{1}{5} = 0{,}2$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}2}$$

б)

Вычислить:

$$\frac{2}{y^{\frac{1}{4}} + 3} — \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} — 3}$$

Шаг 1: Приводим к общему знаменателю

Общий знаменатель:

$$(y^{\frac{1}{4}} + 3)(y^{\frac{1}{4}} — 3) = (y^{\frac{1}{4}})^2 — 3^2 = y^{\frac{1}{2}} — 9$$

Шаг 2: Выполним вычитание дробей

$$\frac{2}{y^{\frac{1}{4}} + 3} — \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} — 3} = \frac{2(y^{\frac{1}{4}} — 3) — 2(y^{\frac{1}{4}} + 3)}{y^{\frac{1}{2}} — 9}$$

Шаг 3: Раскроем скобки в числителе

$$2y^{\frac{1}{4}} — 6 — 2y^{\frac{1}{4}} — 6 = -12$$

Шаг 4: Получаем выражение

$$\frac{-12}{y^{\frac{1}{2}} — 9} = -\frac{12}{\sqrt{y} — 9}$$

Шаг 5: Подставим $y = 100$

$$\sqrt{100} = 10 \Rightarrow -\frac{12}{10 — 9} = -\frac{12}{1} = -12$$

Ответ:

$$\boxed{-12}$$

Итоги:

а) $\boxed{0{,}2}$

б) $\boxed{-12}$