ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной:

а) $\frac{a^5\cdot a^{-8}}{a^{-2}}$

б) $\frac{b^{-9}}{(b^2{)}^{-3}}$

в) $\frac{p^{-9}}{p^{-2}\cdot p^{-5}}$

г) $(t^{-3}{)}^2\cdot \frac{1}{t^{-5}}$

Представить выражение в виде степени и найти его значение при заданном значении переменной:

а) $\frac{a^5 \cdot a^{-8}}{a^{-2}} = \frac{a^{-3}}{a^{-2}} = \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a} = a^{-1}$;
Если $a = 6$, тогда:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{6}$;
Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) $\frac{b^{-9}}{(b^2)^{-3}} = \frac{b^{-9}}{b^{-6}} = \frac{b^6}{b^9} = \frac{1}{b^3} = b^{-3}$;
Если $b = \frac{1}{2}$, тогда:
$\frac{1}{b^3} = 1 : \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 : \frac{1}{8} = 8$;
Ответ: 8.

в) $\frac{p^{-9}}{p^{-2} \cdot p^{-5}} = \frac{p^{-9}}{p^{-7}} = \frac{p^7}{p^9} = \frac{1}{p^2} = p^{-2}$;
Если $p = \frac{1}{2}$, тогда:
$\frac{1}{p^2} = 1 : \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 : \frac{1}{4} = 4$;
Ответ: 4.

г) $(t^{-3})^2 \cdot \frac{1}{t^{-5}} = \frac{t^{-6}}{t^{-5}} = \frac{t^5}{t^6} = \frac{1}{t} = t^{-1}$;
Если $t = 0.1$, тогда:
$\frac{1}{t} = \frac{1}{0.1} = 10$;
Ответ: 10.

Произведение степеней с одинаковыми основаниями:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}.$$

Частное степеней с одинаковыми основаниями:

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.$$

Степень степени:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}.$$

Отрицательная степень:

$$a^{-m} = \frac{1}{a^m}.$$

Используя эти свойства, мы можем представить выражения в виде степеней и затем вычислить их при заданных значениях переменных.

а) $\frac{a^5 \cdot a^{-8}}{a^{-2}} = \frac{a^{-3}}{a^{-2}} = \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a} = a^{-1}$

Решение:

Шаг 1. Используем правило для произведения степеней с одинаковыми основаниями:

$$a^5 \cdot a^{-8} = a^{5 + (-8)} = a^{-3}.$$

Шаг 2. Подставляем в исходное выражение:

$$\frac{a^{-3}}{a^{-2}}.$$

Используем правило для частного степеней с одинаковыми основаниями:

$$\frac{a^{-3}}{a^{-2}} = a^{-3 — (-2)} = a^{-3 + 2} = a^{-1}.$$

Шаг 3. Мы пришли к выражению $a^{-1}$, что эквивалентно:

$$a^{-1} = \frac{1}{a}.$$

Шаг 4. Подставляем значение $a = 6$:

$$\frac{1}{a} = \frac{1}{6}.$$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) $\frac{b^{-9}}{(b^2)^{-3}} = \frac{b^{-9}}{b^{-6}} = \frac{b^6}{b^9} = \frac{1}{b^3} = b^{-3}$

Решение:

Шаг 1. Начнем с преобразования $(b^2)^{-3}$ с использованием правила степени степени:

$$(b^2)^{-3} = b^{2 \cdot (-3)} = b^{-6}.$$

Шаг 2. Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{b^{-9}}{b^{-6}}.$$

Используем правило для частного степеней с одинаковыми основаниями:

$$\frac{b^{-9}}{b^{-6}} = b^{-9 — (-6)} = b^{-9 + 6} = b^{-3}.$$

Шаг 3. Мы пришли к выражению $b^{-3}$, что эквивалентно:

$$b^{-3} = \frac{1}{b^3}.$$

Шаг 4. Подставляем значение $b = \frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{b^3} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8.$$

Ответ: 8.

в) $\frac{p^{-9}}{p^{-2} \cdot p^{-5}} = \frac{p^{-9}}{p^{-7}} = \frac{p^7}{p^9} = \frac{1}{p^2} = p^{-2}$

Решение:

Шаг 1. Применим правило для произведения степеней с одинаковыми основаниями:

$$p^{-2} \cdot p^{-5} = p^{-2 + (-5)} = p^{-7}.$$

Шаг 2. Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{p^{-9}}{p^{-7}}.$$

Используем правило для частного степеней с одинаковыми основаниями:

$$\frac{p^{-9}}{p^{-7}} = p^{-9 — (-7)} = p^{-9 + 7} = p^{-2}.$$

Шаг 3. Мы пришли к выражению $p^{-2}$, что эквивалентно:

$$p^{-2} = \frac{1}{p^2}.$$

Шаг 4. Подставляем значение $p = \frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{p^2} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4.$$

Ответ: 4.

г) $(t^{-3})^2 \cdot \frac{1}{t^{-5}} = \frac{t^{-6}}{t^{-5}} = \frac{t^5}{t^6} = \frac{1}{t} = t^{-1}$

Решение:

Шаг 1. Применим правило для степени степени:

$$(t^{-3})^2 = t^{-3 \cdot 2} = t^{-6}.$$

Шаг 2. Подставляем это в исходное выражение:

$$t^{-6} \cdot \frac{1}{t^{-5}} = \frac{t^{-6}}{t^{-5}}.$$

Используем правило для частного степеней с одинаковыми основаниями:

$$\frac{t^{-6}}{t^{-5}} = t^{-6 — (-5)} = t^{-6 + 5} = t^{-1}.$$

Шаг 3. Мы пришли к выражению $t^{-1}$, что эквивалентно:

$$t^{-1} = \frac{1}{t}.$$

Шаг 4. Подставляем значение $t = 0.1$:

$$\frac{1}{t} = \frac{1}{0.1} = 10.$$

Ответ: 10.