ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{5}{2}}$:

а) на луче [0; $+\mathrm{\infty })$;

б) на полуинтервале [1; 3);

в) на отрезке [1; 2];

г) на полуинтервале (6; 8].

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{5}{2}}$
(Функция вида $y = x^{\frac{m}{n}}$, где $\frac{m}{n} > 0$ монотонно возрастает);

а) На луче $[0; +\infty)$:
$y(0) = 0^{\frac{5}{2}} = 0$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

б) На полуинтервале $[1; 3)$:
$y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 1$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) На отрезке $[1; 2]$:
$y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$;
$y(2) = 2^{\frac{5}{2}} = 2^{2 + \frac{1}{2}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 1$; $y_{\text{наиб}} = 4\sqrt{2}$.

г) На полуинтервале $(6; 8]$:
$y(8) = 8^{\frac{5}{2}} = (2^3)^{\frac{5}{2}} = 2^{\frac{15}{2}} = 2^{7 + \frac{1}{2}} = 2^7 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 128\sqrt{2}$;
Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 128\sqrt{2}$.

Общие свойства функции $y = x^{\frac{5}{2}}$:

• Это степенная функция с положительной дробной степенью $\frac{5}{2} > 0$.
• Определена только для неотрицательных значений:

  $$D(y) = [0; +\infty)$$

• Является монотонно возрастающей на своей области определения.
• Следовательно:
  • Чем больше значение $x$, тем больше значение $y$;
  • Минимум достигается в наименьшей включённой точке;
  • Максимум достигается в наибольшей включённой точке, если такая есть.

а) На луче $[0; +\infty)$

1. Границы области:

• Левая граница включена: $x = 0 \in D(y)$
• Правая граница отсутствует (уходит в бесконечность)

2. Минимум:

$$y(0) = 0^{\frac{5}{2}} = 0 \Rightarrow y_{\text{наим}} = 0$$

3. Максимум:

$$\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{5}{2}} = +\infty \Rightarrow \text{наибольшего значения нет}$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} \text{ — нет}$$

б) На полуинтервале $[1; 3)$

1. Границы:

• Левая граница включена: $x = 1$
• Правая граница не включена: $x = 3 \notin \text{область}$

2. Минимум:

$$y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1 \Rightarrow y_{\text{наим}} = 1$$

3. Максимум:

$$\lim_{x \to 3^-} x^{\frac{5}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} \approx \sqrt{243} \approx 15.59$$

Но так как значение в точке $x = 3$ не достигается, максимум на интервале отсутствует.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 1; \quad y_{\text{наиб}} \text{ — нет}$$

в) На отрезке $[1; 2]$

1. Границы:

Обе границы включены.

2. Минимум:

$$y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1 \Rightarrow y_{\text{наим}} = 1$$

3. Максимум:

Вычислим $y(2)$ подробно:

$$y(2) = 2^{\frac{5}{2}} = 2^{2 + \frac{1}{2}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 1; \quad y_{\text{наиб}} = 4\sqrt{2}$$

г) На полуинтервале $(6; 8]$

1. Границы:

• Левая граница $x = 6$ — не включена
• Правая граница $x = 8$ — включена

2. Минимум:

Функция возрастает, но точка $x = 6 \notin \text{область}$, значит наименьшее значение не достигается.

$$\lim_{x \to 6^+} x^{\frac{5}{2}} = 6^{\frac{5}{2}} \approx 88.18$$

Но этого значения функция не достигает, поскольку 6 не включено.

Вывод: $y_{\text{наим}}$ — нет

3. Максимум:

Вычислим $y(8)$:

$$8 = 2^3 \Rightarrow 8^{\frac{5}{2}} = (2^3)^{\frac{5}{2}} = 2^{3 \cdot \frac{5}{2}} = 2^{\frac{15}{2}} = 2^7 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 128\sqrt{2}$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}}\text{ — нет};y_{\text{наиб}}=128\sqrt{2}$$