ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$:

а) на отрезке [1; 8];

б) на интервале (3; 5);

в) на луче [1; $+\mathrm{\infty })$;

г) на полуинтервале (0; 1].

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$
(функция вида $y = x^{\frac{m}{n}}$, где $\frac{m}{n} < 0$ монотонно убывает);

а) На отрезке $[1; 8]$:
$y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$;
$y(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 0{,}25$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На интервале $(3; 5)$:
Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) На луче $[1; +\infty)$:
$y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$;
Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На полуинтервале $(0; 1]$:
$y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 1$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

Общие сведения о функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$

• Это степенная функция с отрицательной дробной степенью:

  $$y = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$$

• Определена только при $x > 0$, так как деление на ноль невозможно, а дробная степень определена.

  $$D(y) = (0; +\infty)$$

• Функция монотонно убывает на своей области определения:
  • При возрастании $x$ → значение $y$ убывает.
• Не имеет предела при $x \to 0^+$, т.к. $y \to +\infty$
• При $x \to +\infty$: $y \to 0$

а) На отрезке $[1; 8]$

1. Границы входят в промежуток

• $x = 1 \in D(y)$
• $x = 8 \in D(y)$

2. Функция убывает, значит:

• Максимум достигается при меньшем $x$ → $x = 1$
• Минимум — при большем $x$ → $x = 8$

3. Вычисления:

• $y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$
• $y(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 0{,}25; \quad y_{\text{наиб}} = 1$$

б) На интервале $(3; 5)$

1. Концы интервала не входят

• $x \in (3; 5) \subset (0; +\infty)$ — область допустима.
• Но ни точка $x = 3$, ни $x = 5$ не входят в промежуток, поэтому значения функции в них не учитываются.

2. Функция убывает, но значения не достигаются в точках.

• При $x \to 3^+$, $y \to 3^{-\frac{2}{3}} \approx 0.48$
• При $x \to 5^-$, $y \to 5^{-\frac{2}{3}} \approx 0.34$

Но ни минимум, ни максимум не достигаются внутри открытого интервала.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} \text{ — нет}; \quad y_{\text{наиб}} \text{ — нет}$$

в) На луче $[1; +\infty)$

1. Нижняя граница входит: $x = 1 \in D(y)$

• Правая граница бесконечна, но функция определена.

2. Функция убывает

• Значит, максимум — в левой границе
• Минимум не достигается, так как:

  $$\lim_{x \to +\infty} x^{-\frac{2}{3}} = 0$$

3. Вычисление:

$$y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} \text{ — нет}; \quad y_{\text{наиб}} = 1$$

г) На полуинтервале $(0; 1]$

1. Правая граница включена, левая — нет

• $x \in (0; 1] \subset D(y)$

2. Функция убывает

• Максимум: при меньшем $x$, но $x = 0$ не входит
• Минимум: при большем $x = 1 \in D(y)$

3. Вычисления:

$$y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$$

• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$ — функция растёт без ограничения, но значение в 0 не существует

Ответ:

$$y_{\text{наим}}=1;y_{\text{наиб}}\text{ — нет}$$