ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$. Найдите:

а) $f(16x)$

б) $f(81x^4)$

в) $f\left(\frac{1}{81}x\right)$

г) $f(x^{-8})$

Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, найти:

а) $f(16x) = (16x)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt[4]{x} = 2\sqrt[4]{x}$;

Ответ: $2\sqrt[4]{x}$.

б) $f(81x^4) = (81x^4)^{\frac{1}{4}} = 81^{\frac{1}{4}} \cdot (x^4)^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} \cdot x = 3x$;

Ответ: $3x$.

в) $f\left(\frac{1}{81}x\right) = \left(\frac{1}{81}x\right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{1}{3^4}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt[4]{x} = \frac{\sqrt[4]{x}}{3}$;

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{x}}{3}$.

г) $f(x^{-8}) = (x^{-8})^{\frac{1}{4}} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$;

Ответ: $\frac{1}{x^2}$.

Известно, что функция

$$f(x) = x^{\frac{1}{4}}$$

(это означает, что функция возвращает четвёртый корень из $x$, то есть $f(x) = \sqrt[4]{x}$).

Найти значения функции для следующих аргументов:

а) $f(16x)$

Шаг 1. Подставим аргумент $16x$ в определение функции:

$$f(16x) = (16x)^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2. Используем свойство степени произведения:

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$ $$(16x)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 3. Распишем 16 как степень двойки:

$$16 = 2^4 \Rightarrow 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 2^1 = 2$$

Шаг 4. Оставляем $x^{\frac{1}{4}}$ как корень четвёртой степени:

$$x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$$

Шаг 5. Соберём результат:

$$f(16x) = 2 \cdot \sqrt[4]{x}$$

Ответ:

$$\boxed{2\sqrt[4]{x}}$$

б) $f(81x^4)$

Шаг 1. Подставим аргумент:

$$f(81x^4) = (81x^4)^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2. Применим правило:

$$(81x^4)^{\frac{1}{4}} = 81^{\frac{1}{4}} \cdot (x^4)^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 3. Представим 81 как степень тройки:

$$81 = 3^4 \Rightarrow 81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3$$

Шаг 4. Упростим степень:

$$(x^4)^{\frac{1}{4}} = x^{4 \cdot \frac{1}{4}} = x^1 = x$$

Шаг 5. Получаем:

$$f(81x^4) = 3 \cdot x = 3x$$

Ответ:

$$\boxed{3x}$$

в) $f\left(\frac{1}{81}x\right)$

Шаг 1. Подставим аргумент:

$$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \left(\frac{1}{81}x\right)^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2. Распишем как произведение:

$$\left(\frac{1}{81}x\right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 3. Представим 81 как $3^4$:

$$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} \Rightarrow \left(\frac{1}{3^4}\right)^{\frac{1}{4}} = 3^{-4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$$

Шаг 4. Оставим $x^{\frac{1}{4}}$ как $\sqrt[4]{x}$:

$$x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$$

Шаг 5. Получаем:

$$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[4]{x} = \frac{\sqrt[4]{x}}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt[4]{x}}{3}}$$

г) $f(x^{-8})$

Шаг 1. Подставим аргумент:

$$f(x^{-8}) = (x^{-8})^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2. Применим правило степеней:

$$(x^a)^b = x^{a \cdot b} \Rightarrow (x^{-8})^{\frac{1}{4}} = x^{-8 \cdot \frac{1}{4}} = x^{-2}$$

Шаг 3. Представим отрицательную степень как дробь:

$$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{x^2}}$$

Итоговые ответы:

а) $f(16x) = \boxed{2\sqrt[4]{x}}$
б) $f(81x^4) = \boxed{3x}$
в) $f\left(\frac{1}{81}x\right) = \boxed{\frac{\sqrt[4]{x}}{3}}$
г) $f(x^{-8})=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}$