ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Найдите:

а) $f(8x^3)$

б) $f(x^{-6})$

в) $f\left(\frac{1}{27}x\right)$

г) $f(x^{12})$

Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$, найти:

а) $f(8x^3) = (8x^3)^{-\frac{2}{3}} = 8^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{-2} = \frac{2^{-2}}{x^2} = \frac{1}{2^2 \cdot x^2} = \frac{1}{4x^2}$;

Ответ: $\frac{1}{4x^2}$.

б) $f(x^{-6}) = (x^{-6})^{-\frac{2}{3}} = x^4$;

Ответ: $x^4$.

в) $f\left(\frac{1}{27}x\right) = \left(\frac{1}{27}x\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = (27^{\frac{2}{3}}) \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{(3^3)^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{3^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{9}{\sqrt[3]{x^2}}$;

Ответ: $\frac{9}{\sqrt[3]{x^2}}$.

г) $f(x^{12}) = (x^{12})^{-\frac{2}{3}} = x^{-8} = \frac{1}{x^8}$;

Ответ: $\frac{1}{x^8}$.

Известно, что

$$f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$$

Найти:

а) $f(8x^3)$

Шаг 1. Подставим выражение в определение функции:

$$f(8x^3) = (8x^3)^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 2. Применим правило степеней для произведения:

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n \Rightarrow (8x^3)^{-\frac{2}{3}} = 8^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 3. Представим 8 как $2^3$:

$$8 = 2^3 \Rightarrow 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2}$$

Шаг 4. Упростим степень у $x$:

$$(x^3)^{-\frac{2}{3}} = x^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-2}$$

Шаг 5. Объединим результат:

$$f(8x^3) = 2^{-2} \cdot x^{-2} = \frac{1}{2^2} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{4x^2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{4x^2}}$$

б) $f(x^{-6})$

Шаг 1. Подставим в определение функции:

$$f(x^{-6}) = (x^{-6})^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 2. Применим правило степеней:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} \Rightarrow (x^{-6})^{-\frac{2}{3}} = x^{-6 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{4}$$

Ответ:

$$\boxed{x^4}$$

в) $f\left(\frac{1}{27}x\right)$

Шаг 1. Подставим в определение функции:

$$f\left(\frac{1}{27}x\right) = \left(\frac{1}{27}x\right)^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 2. Преобразуем как произведение:

$$\left(\frac{1}{27}x\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 3. Представим 27 как $3^3$:

$$\frac{1}{27} = 3^{-3} \Rightarrow \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} = (3^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 3^{2}$$

Шаг 4. Упростим $x^{-\frac{2}{3}}$ как корень:

$$x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$$

Шаг 5. Собираем результат:

$$f\left(\frac{1}{27}x\right) = 3^2 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{9}{\sqrt[3]{x^2}}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{9}{\sqrt[3]{x^2}}}$$

г) $f(x^{12})$

Шаг 1. Подставим в функцию:

$$f(x^{12}) = (x^{12})^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 2. Используем правило степеней:

$$(x^{12})^{-\frac{2}{3}} = x^{12 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-8}$$

Шаг 3. Переведем отрицательную степень в дробь:

$$x^{-8} = \frac{1}{x^8}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{x^8}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\frac{1}{4x^2}}$

б) $\boxed{x^4}$

в) $\boxed{\frac{9}{\sqrt[3]{x^2}}}$

г) $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{x^8}}}$