ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 2x^4 + x\sqrt{x}$;

б) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3x^6 — 1$;

в) $y = x^5 — \frac{1}{\sqrt{x}}$;

г) $y = x^3 — 7x\sqrt[5]{x}$

Найти производную заданной функции:

а) $y = 2x^4 + x\sqrt{x}$;
$y'(x) = 2(x^4)’ + \left(x^{\frac{3}{2}}\right)’ = 2 \cdot 4x^3 + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 8x^3 + \frac{3\sqrt{x}}{2}$;

б) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3x^6 — 1$;
$y'(x) = 2\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)’ + 3(x^6)’ — (1)’$;
$y'(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}\right) + 3 \cdot 6x^5 — 0 = 18x^5 — \frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}}$;

в) $y = x^5 — \frac{1}{\sqrt{x}}$;
$y'(x) = (x^5)’ — \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)’ = 5x^4 — \left(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right) = 5x^4 + \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$;

г) $y = x^3 — 7x\sqrt[5]{x}$;
$y'(x) = (x^3)’ — 7\left(x^{\frac{6}{5}}\right)’ = 3x^2 — 7 \cdot \frac{6}{5}x^{\frac{1}{5}} = 3x^2 — 8.4\sqrt[5]{x}$

а) $y = 2x^4 + x\sqrt{x}$

Шаг 1. Преобразуем корень в степень:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$$

Шаг 2. Перепишем функцию:

$$y = 2x^4 + x^{\frac{3}{2}}$$

Шаг 3. Найдём производную суммы (правило суммы):

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4) + \frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}})$$

Шаг 4. Применим правило производной степенной функции:

• $\frac{d}{dx}(2x^4) = 2 \cdot 4x^{3} = 8x^3$
• $\frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

Шаг 5. Сложим результаты:

$$y'(x) = 8x^3 + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 8x^3 + \frac{3\sqrt{x}}{2}$$

Ответ:

$$8x^3 + \frac{3\sqrt{x}}{2}$$

б) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3x^6 — 1$

Шаг 1. Перепишем в степенном виде:

$$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \Rightarrow \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 2x^{-\frac{1}{3}}$$ $$y = 2x^{-\frac{1}{3}} + 3x^6 — 1$$

Шаг 2. Используем правило суммы и линейность производной:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{-\frac{1}{3}}) + \frac{d}{dx}(3x^6) — \frac{d}{dx}(1)$$

Шаг 3. Находим каждую производную:

• $\frac{d}{dx}(2x^{-\frac{1}{3}}) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}\right) = -\frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}}$
• $\frac{d}{dx}(3x^6) = 3 \cdot 6x^5 = 18x^5$
• $\frac{d}{dx}(1) = 0$

Шаг 4. Соберём всё:

$$y'(x) = 18x^5 — \frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}}$$

Шаг 5. Преобразуем степень в корень:

$$x^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \Rightarrow \frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}}$$ $$y'(x) = 18x^5 — \frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}}$$

Ответ:

$$18x^5 — \frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}}$$

в) $y = x^5 — \frac{1}{\sqrt{x}}$

Шаг 1. Преобразуем корень в степень:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$$ $$y = x^5 — x^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) — \frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})$$

Шаг 3. Вычислим:

• $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$
• $\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

Шаг 4. Учитываем двойной минус:

$$y'(x) = 5x^4 + \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$$

Шаг 5. Переведём степень в корень:

$$x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}} \Rightarrow \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$$ $$y'(x) = 5x^4 + \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$$

Ответ:

$$5x^4 + \frac{1}{2\sqrt{x^3}}$$

г) $y = x^3 — 7x\sqrt[5]{x}$

Шаг 1. Перепишем корень в степенной форме:

$$\sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}} \Rightarrow x\sqrt[5]{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{6}{5}}$$ $$y = x^3 — 7x^{\frac{6}{5}}$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — 7 \cdot \frac{d}{dx}(x^{\frac{6}{5}})$$

Шаг 3. Вычислим:

• $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
• $\frac{d}{dx}(x^{\frac{6}{5}}) = \frac{6}{5}x^{\frac{1}{5}}$

Шаг 4. Умножим на константу:

$$y'(x) = 3x^2 — 7 \cdot \frac{6}{5}x^{\frac{1}{5}} = 3x^2 — \frac{42}{5}x^{\frac{1}{5}}$$

Шаг 5. Можно записать в радикальной форме:

$$x^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{x} \Rightarrow y'(x) = 3x^2 — \frac{42}{5}\sqrt[5]{x}$$

Или как приближённое значение:

$$\frac{42}{5} = 8.4 \Rightarrow y'(x) = 3x^2 — 8.4\sqrt[5]{x}$$

Ответ:

$$3x^2 — 8.4\sqrt[5]{x}$$