ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке:

а) $$$y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} — 2x, \ [1; 9]$;

б) $$$y = \dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} — x, \ (0; 8)$;

в) $$$y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} — 2x, \ (1; 9)$;

г) $$$y = \dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} — x, \ [0; 8]$

Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке:

а) $$$y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} — 2x, \ [1; 9]$;

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{2}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}\right)’ — (2x)’ = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} — 2 = \sqrt{x} — 2;$$

Точки экстремума:

$$\sqrt{x} — 2 = 0; \\ \sqrt{x} = 2; \\ x = 4;$$

Значения функции:

$$y(1)=\frac{2}{3}\cdot 1\sqrt{1}-2\cdot 1=\frac{2}{3}-2=\frac{2}{3}-\frac{6}{3}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3};$$

$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{4}-2\cdot 4=\frac{8}{3}\cdot 2-8=\frac{16}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3};$$

$$y(1) = \frac{2}{3} \cdot 1\sqrt{1} — 2 \cdot 1 = \frac{2}{3} — 2 = \frac{2}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}; \\ y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} — 2 \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 2 — 8 = \frac{16}{3} — \frac{24}{3} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}; \\ y(9) = \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{9} — 2 \cdot 9 = \frac{18}{3} \cdot 3 — 18 = 18 — 18 = 0;$$

Ответ: $$$y_{\text{наим}} = -2\frac{2}{3}; \quad y_{\text{наиб}} = 0.$

б) $$$y = \dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} — x, \ (0; 8)$;

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{3}{2}\left(x^{\frac{2}{3}}\right)’ — (x)’ = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} — 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1;$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1 \geq 0; \\ \frac{1 — \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} \geq 0; \\ \frac{\sqrt[3]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}} \leq 0; \\ 0 < x \leq 1;$$

Значения функции:

$$y(1) = \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} — 1 = \frac{3}{2} — 1 = 1,5 — 1 = 0,5;$$

Ответ: ${}_{}$$y_{\text{наим}}$ – нет; $y_{\text{наиб}} = 0{,}5.$

в) $$$y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} — 2x, \ (1; 9)$;

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{2}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}\right)’ — (2x)’ = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} — 2 = \sqrt{x} — 2;$$

Промежуток возрастания:

$$\sqrt{x} — 2 \geq 0; \\ \sqrt{x} \geq 2; \\ x \geq 4;$$

Значения функции:

$$y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} — 2 \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 2 — 8 = \frac{16}{3} — \frac{24}{3} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3};$$

Ответ: $$$y_{\text{наим}} = -2\frac{2}{3}; \quad y_{\text{наиб}}$ – нет.

г) $$$y = \dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} — x, \ [0; 8]$;

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{3}{2}\left(x^{\frac{2}{3}}\right)’ — (x)’ = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} — 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1;$$

Точки экстремума:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1 = 0; \\ 1 — \sqrt[3]{x} = 0; \\ \sqrt[3]{x} = 1; \\ x = 1;$$

Значения функции:

$$y(0)=\frac{3}{2}\cdot 0^{\frac{2}{3}}-0=0-0=0;$$

$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{\frac{2}{3}}-1=\frac{3}{2}-1=1,5-1=0,5;$$

$$y(0) = \frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}} — 0 = 0 — 0 = 0; \\ y(1) = \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} — 1 = \frac{3}{2} — 1 = 1,5 — 1 = 0,5; \\ y(8) = \frac{3}{2} \cdot 8^{\frac{2}{3}} — 8 = \frac{3}{2} \cdot 2^2 — 8 = \frac{3}{2} \cdot 4 — 8 = 6 — 8 = -2;$$

Ответ: ${}_{}$$y_{\text{наим}}=-2;y_{\text{наиб}}=\mathrm{0,5.}$$y_{\text{наим}} = -2; \quad y_{\text{наиб}} = 0{,}5.$

а)

$$y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} — 2x, \quad \text{на промежутке } [1; 9]$$

Шаг 1: Преобразуем функцию

Запишем $x\sqrt{x}$ в виде степени:

$$x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$$

Тогда:

$$y(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} — 2x$$

Шаг 2: Найдём производную

Используем правило:

$$(x^n)’ = n \cdot x^{n — 1}$$

Вычислим производную:

$$y'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} — 2 = x^{1/2} — 2 = \sqrt{x} — 2$$

Шаг 3: Найдём критические точки

Решим уравнение:

$$y'(x) = 0 \Rightarrow \sqrt{x} — 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$$

Точка $x = 4$ принадлежит промежутку $[1; 9]$ ⇒ рассматриваем её.

Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка

Подставим:

• В точке $x = 1$:

  $$y(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} — 2 \cdot 1 = \frac{2}{3} — 2 = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$$

• В точке $x = 4$:

  $$y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{4} — 2 \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 2 — 8 = \frac{16}{3} — \frac{24}{3} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$$

• В точке $x = 9$:

  $$y(9) = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} — 2 \cdot 9 = \frac{18}{3} \cdot 3 — 18 = 6 \cdot 3 — 18 = 18 — 18 = 0$$

Шаг 5: Сравниваем значения

• $y(1) = -\frac{4}{3}$
• $y(4) = -\frac{8}{3}$
• $y(9) = 0$

Максимум: $y_{\text{наиб}} = 0$ при $x = 9$
Минимум: $y_{\text{наим}} = -\frac{8}{3}$ при $x = 4$

Ответ (а):

$$y_{\text{наим}} = -2\frac{2}{3}, \quad y_{\text{наиб}} = 0$$

б)

$$y = \frac{3}{2}x^{2/3} — x, \quad \text{на промежутке } (0; 8)$$

Шаг 1: Производная

Используем:

$$(x^{2/3})’ = \frac{2}{3}x^{-1/3}$$

Тогда:

$$y'(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} — 1 = x^{-1/3} — 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1$$

Шаг 2: Найдём критические точки

Решим:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Точка $x = 1 \in (0; 8)$ — подходит.

Шаг 3: Проверим поведение функции

Функция возрастает на $(0; 1]$, убывает на $[1; 8)$, следовательно:

• максимум достигается в $x = 1$
• наименьшего значения нет, так как при $x \to 0^+$, $y(x) \to -\infty$, так как $x^{-1/3} \to +\infty \Rightarrow y'(x) \to +\infty$, но сам $y(x) = \frac{3}{2}x^{2/3} — x \to 0 — 0 = 0$, а не минус бесконечность. Значит, нужно просто проверить значение в точке максимума.

Шаг 4: Значение функции в точке экстремума

$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{2\mathrm{/}3}-1=\frac{3}{2}-1=0.5$$

Ответ (б):

$$y_{\text{наиб}} = 0{,}5, \quad y_{\text{наим}} \text{ — не достигается}$$

в)

$$y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} — 2x, \quad \text{на промежутке } (1; 9)$$

Шаг 1: Производная уже была найдена

$$y'(x) = \sqrt{x} — 2$$

Шаг 2: Точка экстремума

$$\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 \in (1; 9)$$

Шаг 3: Значение функции в критической точке

$$y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{4} — 2 \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 2 — 8 = \frac{16}{3} — \frac{24}{3} = -\frac{8}{3}$$

Шаг 4: Границы промежутка не включены

Функция непрерывна на $(1; 9)$, но значения в точках 1 и 9 не включаются, значит:

• максимум не достигается
• минимум достигается в $x = 4$, потому что это единственная критическая точка

Ответ (в):

$$y_{\text{наим}} = -2\frac{2}{3}, \quad y_{\text{наиб}} \text{ — не существует}$$

г)

$$y = \frac{3}{2}x^{2/3} — x, \quad \text{на промежутке } [0; 8]$$

Шаг 1: Производная

$$y'(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} — 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1$$

Шаг 2: Найдём критическую точку

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} — 1 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \in [0; 8]$$

Шаг 3: Вычислим значения функции в концах и в критической точке

• $y(0) = \frac{3}{2} \cdot 0^{2/3} — 0 = 0$
• $y(1) = \frac{3}{2} — 1 = 0.5$
• $y(8) = \frac{3}{2} \cdot 8^{2/3} — 8$

Пояснение:

$$8^{2/3} = \left(2^3\right)^{2/3} = 2^2 = 4 \Rightarrow y(8) = \frac{3}{2} \cdot 4 — 8 = 6 — 8 = -2$$

Сравним значения

• $y(0) = 0$
• $y(1) = 0.5$
• $y(8) = -2$

Ответ (г):

$$y_{\text{наим}}=-2,y_{\text{наиб}}=\mathrm{0,5}$$