ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите графически неравенство:

а) $x^{\frac{1}{2}}<6-x$;

б) $x^{\frac{3}{2}}\ge x^{-2}$;

в) $x^{-\frac{1}{4}}\le x^3$;

г) $x^{\frac{2}{3}}>x-4$

Решить графически неравенство:

а) $x^{\frac{1}{2}}<6-x$;
$y=x^{\frac{1}{2}}$ – степенная функция:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 4\\ y& 0& 1& 2\end{array}}$$

$y=6-x$ – уравнение прямой:

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 2& 4\\ y& 4& 2\end{array}}$$

Графики функций:

Ответ: $x\in [0;4)$.

б) $x^{\frac{3}{2}}\ge x^{-2}$;
$y=x^{\frac{3}{2}}$ – степенная функция:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 4\\ y& 0& 1& 8\end{array}}$$

$y=x^{-2}$ – степенная функция:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 0,5& 1& 2\\ y& 4& 1& 0,25\end{array}}$$

Графики функций:

Ответ: $x\in [1;+\mathrm{\infty })$.

в) $x^{-\frac{1}{4}}\le x^3$;
$y=x^{-\frac{1}{4}}$ – степенная функция:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& \mathrm{0,0625}& 1& 16\\ y& 2& 1& \mathrm{0,5}\end{array}}$$

$y=x^3$ – степенная функция:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 2\\ y& 0& 1& 8\end{array}}$$

Графики функций:

Ответ: $x\in [1;+\mathrm{\infty })$.

г) $x^{\frac{2}{3}}>x-4$;
$y=x^{\frac{2}{3}}$ – степенная функция:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 0& 1& 8\\ y& 0& 1& 4\end{array}}$$

$y=x-4$ – уравнение прямой:

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 4& 6\\ y& 0& 2\end{array}}$$

Графики функций:

Ответ: $x\in [0;8)$.

а)

Неравенство:

$$x^{\frac{1}{2}}<6-x$$

Шаг 1: Области определения

1. Левая часть: $x^{1\mathrm{/}2}$ — это корень квадратный, определён при $x\ge 0$
2. Правая часть: $6-x$ — определена при всех $x\in \mathbb{R}$

Итог: неравенство имеет смысл при $x\ge 0$

Шаг 2: Построим графики по точкам

График 1: $y=x^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{x}$ — это половина параболы, обращённая вверх

Гладкая возрастающая кривая, начиная от $(0,0)$, без пересечений оси $x<0$.

График 2: $y=6-x$ — это прямая с наклоном –1, проходящая через точку (6, 0), пересекающая ось $y$ в точке (0, 6)

Убывающая прямая, пересекает график $y=\sqrt{x}$ при $x=4$

Шаг 3: Найдём точку пересечения

Решим уравнение:

$$\sqrt{x}=6-x$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x=(6-x{)}^2=36-12x+x^2\Rightarrow x^2-13x+36=0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x=\frac{13\pm \sqrt{169-144}}{2}=\frac{13\pm \sqrt{25}}{2}=\frac{13\pm 5}{2}\Rightarrow x=9,x=4$$

Подставим в исходное уравнение:

• $x=4$: $\sqrt{4}=2,6-4=2\Rightarrow$ подходит
• $x=9$: $\sqrt{9}=3,6-9=-3\Rightarrow 3\mathrm{\ne }-3$ — не подходит (ложный корень)

Точка пересечения: $x=4$

Шаг 4: Исследуем знак неравенства

Ищем, где:

$$\sqrt{x}<6-x$$

• При $x=0$: $0<6$ — верно
• При $x=1$: $1<5$ — верно
• При $x=4$: $2=2$ — не строго
• При $x>4$: $\sqrt{x}>6-x$ — не выполняется

Ответ (а):

$$\boxed{{\displaystyle x\in [0;4)}}$$

б)

Неравенство:

$$x^{\frac{3}{2}}\ge x^{-2}$$

Шаг 1: Области определения

• Левая часть: $x^{3\mathrm{/}2}$ — определена при $x\ge 0$
• Правая часть: $x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ — определена при $x\mathrm{\ne }0$

Общая область определения:

$$x>0$$

Шаг 2: Построим графики по точкам

График 1: $y=x^{3\mathrm{/}2}=x\sqrt{x}$

Монотонно возрастающая кривая, от 0 вверх.

График 2: $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$

Монотонно убывающая кривая, стремится к $+\mathrm{\infty }$ при $x\to 0^{+}$, к 0 при $x\to +\mathrm{\infty }$

Шаг 3: Точка пересечения

Решим уравнение:

$$x^{3\mathrm{/}2}=x^{-2}$$

Переносим в одну сторону:

$$x^{3\mathrm{/}2}-x^{-2}=0$$

Домножим обе части на $x^2$ (в допустимой области $x>0$):

$$x^{7\mathrm{/}2}-1=0\Rightarrow x^{7\mathrm{/}2}=1\Rightarrow x=1$$

Шаг 4: Знак неравенства

• При $x<1$, например $x=0.5$:
  $x^{3\mathrm{/}2}=0.353$, $x^{-2}=4\Rightarrow 0.353<4$ — ложно
• При $x>1$, например $x=2$:
  $x^{3\mathrm{/}2}=2\sqrt{2}\approx 2.83$, $x^{-2}=0.25\Rightarrow 2.83>0.25$ — истинно

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle x\in [1;+\mathrm{\infty })}}$$

в)

Неравенство:

$$x^{-\frac{1}{4}}\le x^3$$

Шаг 1: Области определения

• Левая часть: $x^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{x^{1\mathrm{/}4}}$ — определена при $x>0$
• Правая часть: $x^3$ — определена при всех $x\in \mathbb{R}$

Общая область определения:

$$x>0$$

Шаг 2: Построим графики по точкам

График 1: $y=x^{-\frac{1}{4}}$

Функция убывает на $x>0$, стремится к $+\mathrm{\infty }$ при $x\to 0^{+}$, к 0 при $x\to +\mathrm{\infty }$

График 2: $y=x^3$

Монотонно возрастающая кривая

Шаг 3: Точка пересечения

Решим уравнение:

$$x^{-\frac{1}{4}}=x^3\Rightarrow x^{-\frac{1}{4}-3}=1\Rightarrow x^{-13\mathrm{/}4}=1\Rightarrow x=1$$

Шаг 4: Проверка знака

• При $x<1$:
  $x^3<1$, но $x^{-\frac{1}{4}}>1\Rightarrow$ неравенство не выполняется
• При $x>1$:
  $x^3>1$, $x^{-\frac{1}{4}}<1\Rightarrow$ выполняется

Ответ (в):

$$\boxed{{\displaystyle x\in [1;+\mathrm{\infty })}}$$

г)

Неравенство:

$$x^{\frac{2}{3}}>x-4$$

Шаг 1: Область определения

• $x^{2\mathrm{/}3}$ — определена при всех $x\in \mathbb{R}$
• $x-4$ — определена при всех $x$

Общая область: $\mathbb{R}$

Шаг 2: Построим графики

График 1: $y=x^{2\mathrm{/}3}$

• Определён на всей числовой прямой
• Чётная функция
• Минимум при $x=0$: $y=0$
• Поведение: кривая, напоминающая «мягкий угол», неотрицательная

График 2: $y=x-4$

• Прямая с наклоном +1
• Пересекает ось $y$ в $y=-4$

Шаг 3: Найдём точку пересечения

Решим:

$$x^{2\mathrm{/}3}=x-4$$

Подбором:

• $x=0\Rightarrow LHS=0,RHS=-4$
• $x=8\Rightarrow LHS=4,RHS=4$ — подходит

Точка пересечения: $x=8$

Шаг 4: Проверим знак

• При $x=0$: $x^{2\mathrm{/}3}=0,x-4=-4\Rightarrow 0>-4$ — верно
• При $x=4$: $x^{2\mathrm{/}3}=\sqrt[3]{16}\approx 2.5,x-4=0\Rightarrow 2.5>0$ — верно
• При $x=8$: $x^{2\mathrm{/}3}=4,x-4=4\Rightarrow 4=4$ — нестрого

Нужны те $x$, где $x^{2\mathrm{/}3}>x-4$ ⇒ строго

Ответ (г):