ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Проведите касательную к графику заданной функции из данной точки М:

а) $$$y=\sqrt{x},M(0;1);$

б) $$$y=x^{\frac{3}{2}}+4,M(0;0)$

Провести касательную к графику функции из данной точки M:

а) $$$y = \sqrt{x}, \quad M(0; 1);$

Значение функции:
$y(a) = \sqrt{a};$

Значение производной:
$y'(a) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{a}};$

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a);$
$y = \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt{a}}(x — a) = \frac{2a}{2\sqrt{a}} + \frac{x — a}{2\sqrt{a}} = \frac{a + x}{2\sqrt{a}};$

Абсцисса точки касания:
$\frac{a + 0}{2\sqrt{a}} = 1;$
$a = 2\sqrt{a};$
$\sqrt{a} = 2;$
$a = 2^2 = 4;$
$y = \frac{4 + x}{2\sqrt{4}} = \frac{x + 4}{2 \cdot 2} = \frac{x + 4}{4} = \frac{1}{4}x + 1;$

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + 1.$

б) $$$y = x^{\frac{3}{2}} + 4, \quad M(0; 0);$

Значение функции:
$y(a) = a^{\frac{3}{2}} + 4 = \sqrt{a^3} + 4;$

Значение производной:
$y'(a) = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)’ + (4)’ = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 0 = \frac{3\sqrt{x}}{2} = \frac{3\sqrt{a}}{2};$

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a);$
$y = (\sqrt{a^3} + 4) + \frac{3\sqrt{a}}{2}(x — a) = \sqrt{a^3} + 4 + \frac{3x\sqrt{a}}{2} — \frac{3\sqrt{a^3}}{2};$
$y = \frac{2\sqrt{a^3} + 8}{2} — \frac{3\sqrt{a^3}}{2} + \frac{3x\sqrt{a}}{2} = \frac{3x\sqrt{a} + 8 — \sqrt{a^3}}{2};$

Абсцисса точки касания:
$\frac{3\sqrt{a} \cdot 0 + 8 — \sqrt{a^3}}{2} = 0;$
$8 — \sqrt{a^3} = 0;$
$\sqrt{a^3} = 8;$
$\sqrt{a} = 2;$
$a = 2^2 = 4;$
$y = \frac{3x\sqrt{4} + 8 — \sqrt{4^3}}{2} = \frac{3 \cdot 2x + 8 — 2^3}{2} = \frac{6x + 8 — 8}{2} = 3x;$

Ответ: $y = 3x.$

а)

$$y = \sqrt{x}, \quad M(0; 1)$$

Шаг 1. Вспомним уравнение касательной к графику функции в точке $x = a$:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Нам нужно найти такую точку $x = a$, где касательная к графику $y = \sqrt{x}$ проходит через точку $M(0; 1)$.

Шаг 2. Найдём значение функции в точке $a$:

$$f(a) = \sqrt{a}$$

Шаг 3. Найдём производную функции $y = \sqrt{x}$:

$$f(x) = x^{1/2} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}$$

Шаг 4. Подставим в общее уравнение касательной:

$$y = \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt{a}}(x — a)$$

Шаг 5. Преобразуем уравнение:

Приведём к общему виду:

$$y = \sqrt{a} + \frac{x — a}{2\sqrt{a}} = \frac{2a}{2\sqrt{a}} + \frac{x — a}{2\sqrt{a}} = \frac{a + x}{2\sqrt{a}}$$

Шаг 6. Подставим координаты точки $M(0; 1)$ в уравнение касательной:

Подставим $x = 0$, $y = 1$:

$$1 = \frac{0 + a}{2\sqrt{a}} = \frac{a}{2\sqrt{a}}$$

Шаг 7. Решим уравнение:

$$\frac{a}{2\sqrt{a}} = 1 \Rightarrow a = 2\sqrt{a}$$

Разделим обе части на $\sqrt{a}$ (так как $a > 0$, корень определён):

$$\frac{a}{\sqrt{a}} = 2 \Rightarrow \sqrt{a} = 2 \Rightarrow a = 4$$

Шаг 8. Подставим найденное $a = 4$ в уравнение касательной:

$$y = \frac{x + 4}{2\sqrt{4}} = \frac{x + 4}{2 \cdot 2} = \frac{x + 4}{4} = \frac{1}{4}x + 1$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{1}{4}x + 1}$$

б)

$$y = x^{3/2} + 4, \quad M(0; 0)$$

Шаг 1. Формула касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Нам нужно найти такое $a$, при котором касательная к графику функции $f(x) = x^{3/2} + 4$ проходит через точку $M(0; 0)$.

Шаг 2. Найдём значение функции в точке $x = a$:

$$f(a) = a^{3/2} + 4 = \sqrt{a^3} + 4$$

Шаг 3. Найдём производную функции:

$$f(x) = x^{3/2} + 4 \Rightarrow f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} \Rightarrow f'(a) = \frac{3\sqrt{a}}{2}$$

Шаг 4. Уравнение касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = (\sqrt{a^3} + 4) + \frac{3\sqrt{a}}{2}(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = \sqrt{a^3} + 4 + \frac{3x\sqrt{a}}{2} — \frac{3a\sqrt{a}}{2}$$

Преобразуем:

$$\frac{3a\sqrt{a}}{2} = \frac{3\sqrt{a^3}}{2}$$ $$y = \sqrt{a^3} + 4 — \frac{3\sqrt{a^3}}{2} + \frac{3x\sqrt{a}}{2}$$

Приведём подобные:

$$y = \left(\sqrt{a^3} — \frac{3\sqrt{a^3}}{2}\right) + 4 + \frac{3x\sqrt{a}}{2} \Rightarrow y = \left(-\frac{\sqrt{a^3}}{2} + 4\right) + \frac{3x\sqrt{a}}{2}$$

Шаг 5. Подставим координаты точки $M(0; 0)$ в уравнение касательной:

Подставим $x = 0$, $y = 0$:

$$0 = \left(-\frac{\sqrt{a^3}}{2} + 4\right) + \frac{3 \cdot 0 \cdot \sqrt{a}}{2} = -\frac{\sqrt{a^3}}{2} + 4$$

Шаг 6. Решим уравнение:

$$-\frac{\sqrt{a^3}}{2} + 4 = 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{a^3}}{2} = 4 \Rightarrow \sqrt{a^3} = 8$$ $$\sqrt{a^3}=8\Rightarrow (\sqrt{a}{)}^3=8\Rightarrow \sqrt{a}=2\Rightarrow a=4$$

Шаг 7. Подставим $a = 4$ в уравнение касательной:

Сначала найдём:

• $\sqrt{4} = 2$
• $\sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$

Подставим в:

$$y = \sqrt{a^3} + 4 + \frac{3\sqrt{a}}{2}(x — a) \Rightarrow y = 8 + 4 + \frac{3 \cdot 2}{2}(x — 4) = 12 + 3(x — 4)$$ $$y = 12 + 3x — 12 = 3x$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle y=3x}}$$