ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте степенную функцию на чётность:

а) $y = x^{10}$;

б) $y = x^{-\frac{1}{3}}$;

в) $y = x^{-1}$;

г) $y = x^{\frac{4}{3}}$

Исследовать степенную функцию на чётность:

а) $y = x^{10}$;
Область определения:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;
Область определения симметрична:
$y(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = y(x)$;
Ответ: чётная.

б) $y = x^{-\frac{1}{3}}$;
Область определения:
$D(y) = (0; +\infty)$;
Область определения не симметрична;
Ответ: ни чётная, ни нечётная.

в) $y = x^{-1}$;
Область определения:
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$;
Область определения симметрична:
$y(-x) = (-x)^{-1} = -x^{-1} = -y(x)$;
Ответ: нечётная.

г) $y = x^{\frac{4}{3}}$;
Область определения:
$D(y) = [0; +\infty)$;
Область определения не симметрична;
Ответ: ни чётная, ни нечётная.

а) $y = x^{10}$

1. Область определения

Показатель степени — целое положительное число (10).
Такая функция определена при всех действительных $x$.

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

2. Симметрия области определения

Чтобы можно было исследовать на чётность/нечётность, область определения должна быть симметрична относительно нуля, то есть если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$.

В данном случае:

$$\text{Если } x \in (-\infty; +\infty), \text{ то и } -x \in (-\infty; +\infty)$$

Вывод: Область определения симметрична.

3. Проверка чётности

Проверим, что происходит с функцией при замене $x$ на $-x$:

$$y(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = y(x)$$

Вывод:

$$y(-x) = y(x) \Rightarrow \text{функция чётная}$$

б) $y = x^{-\frac{1}{3}}$

1. Область определения

Функция вида $x^r$, где $r = -\frac{1}{3}$, означает:

$$x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$$

Кубический корень $\sqrt[3]{x}$ определён при всех $x$, но делить на ноль нельзя. Значит, функция определена всюду, кроме $x = 0$:

$$x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \Rightarrow x \neq 0 \Rightarrow D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Однако в исходном тексте указано:

$$D(y) = (0; +\infty)$$

Это означает, что там рассматривается только положительная часть области, что делает её несимметричной.

2. Симметрия области определения

$$D(y) = (0; +\infty) \Rightarrow -x \notin D(y) \text{ при } x \in D(y)$$

Вывод: Область определения не симметрична.

3. Чётность / Нечётность

Так как область не симметрична относительно нуля, функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

в) $y = x^{-1}$

1. Область определения

$$y = x^{-1} = \frac{1}{x} \Rightarrow x \neq 0 \Rightarrow D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

2. Симметрия области определения

Если $x \in D(y)$, то $-x \in D(y)$ — это выполняется.

Вывод: Область симметрична.

3. Проверка нечётности

Проверим:

$$y(-x) = (-x)^{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x} = -y(x)$$

Вывод:

$$y(-x) = -y(x) \Rightarrow \text{функция нечётная}$$

г) $y = x^{\frac{4}{3}}$

1. Область определения

Степень $\frac{4}{3}$ — положительное дробное число.

$$x^{\frac{4}{3}} = \left( \sqrt[3]{x} \right)^4$$

Кубический корень определён при любом $x$, но четвёртая степень от него — тоже определена при любом $x$. Однако если исходное определение (как в школьной практике) предполагает:

$$x^{\frac{4}{3}} = \left( x^{1/3} \right)^4 \text{ или } \left( \sqrt[3]{x} \right)^4$$

Тогда функция определена на всей числовой прямой. Но в тексте указано:

$$D(y) = [0; +\infty)$$

Это означает, что мы рассматриваем только неотрицательные значения $x$.

2. Симметрия области определения

$$D(y) = [0; +\infty) \Rightarrow \text{несимметрична относительно 0}$$

Вывод: Область определения не симметрична.

3. Чётность / Нечётность

Так как область не симметрична, мы не можем провести проверку на чётность или нечётность.

Вывод:
Функция — ни чётная, ни нечётная.