ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте степенную функцию на ограниченность:

а) $y = x^8$;

б) $y = x^{-\frac{3}{4}}$;

в) $y = x^{-5}$;

г) $y = x^{\frac{2}{5}}$

Исследовать степенную функцию на ограниченность:

а) $y = x^8$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^8)’ = 8x^7$;
Промежуток возрастания:
$x \geq 0$;
Наименьшее значение:
$y_{\text{наим}} = y(0) = 0^8 = 0$;
Ответ: ограничена снизу.

б) $y = x^{-\frac{3}{4}}$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Производная функции:
$y'(x) = \left(x^{-\frac{3}{4}}\right)’ = -\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}$;
Промежуток возрастания:
$x < 0$;
Горизонтальная асимптота:
$\lim_{x \to +\infty} x^{-\frac{3}{4}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$;
Ответ: ограничена снизу.

в) $y = x^{-5}$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^{-5})’ = -5x^{-6} < 0$;
Ответ: не ограничена.

г) $y = x^{\frac{2}{5}}$;
Выражение имеет смысл при:
$x \geq 0$;
Производная функции:
$y'(x) = \left(x^{\frac{2}{5}}\right)’ = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}}$;
Промежуток возрастания:
$x \geq 0$;
Наименьшее значение:
$y_{\text{наим}} = y(0) = 0^{\frac{2}{5}} = 0$;
Ответ: ограничена снизу.

а) $y = x^8$

1. Область определения

Функция $x^8$ определена при любом действительном $x$:

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

2. Производная

Найдём первую производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^8) = 8x^7$$

3. Знаки производной

Анализируем знак производной:

• При $x > 0$: $y'(x) = 8x^7 > 0$
• При $x < 0$: $y'(x) = 8x^7 < 0$
• При $x = 0$: $y'(x) = 0$

Вывод:
Функция убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $(0; +\infty)$.
Значит, в точке $x = 0$ — минимум.

4. Наименьшее значение

$$y_{\text{min}} = y(0) = 0^8 = 0$$

5. Поведение на бесконечности

$$\lim_{x \to \pm\infty} x^8 = +\infty$$

6. Вывод об ограниченности

• Снизу: ограничена (есть минимум)
• Сверху: не ограничена (уходит в $+\infty$)

Ответ: ограничена снизу

б) $y = x^{-\frac{3}{4}}$

1. Область определения

$$x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{x^{3/4}} \Rightarrow x > 0$$ $$D(y) = (0; +\infty)$$

2. Производная

Найдём производную по правилу степеней:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-\frac{3}{4}}) = -\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}$$

3. Знак производной

На всём допустимом интервале $x > 0$:

• $x^{-\frac{7}{4}} > 0$
• $y'(x) = -\frac{3}{4} \cdot x^{-\frac{7}{4}} < 0$

Вывод:
Функция убывает на $(0; +\infty)$

4. Поведение на границах

• При $x \to 0^+$:

  $$y = \frac{1}{x^{3/4}} \to +\infty$$

• При $x \to +\infty$:

  $$y = \frac{1}{x^{3/4}} \to 0$$

5. Горизонтальная асимптота

$$\lim_{x \to +\infty} y = 0 \Rightarrow \text{горизонтальная асимптота: } y = 0$$

6. Вывод об ограниченности

• Снизу: ограничена (значения стремятся к нулю)
• Сверху: не ограничена (стремится к бесконечности при $x \to 0^+$)

Ответ: ограничена снизу

в) $y = x^{-5}$

1. Область определения

$$x^{-5} = \frac{1}{x^5} \Rightarrow x \ne 0 \Rightarrow D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

2. Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-5}) = -5x^{-6}$$

3. Знак производной

На обеих частях области:

• $x^{-6} > 0$ при $x \ne 0$
• Значит: $y'(x) = -5 \cdot x^{-6} < 0$

Вывод:
Функция убывает на всём множестве определения.

4. Поведение на границах

• При $x \to 0^+$:

  $$x^{-5} \to +\infty$$

• При $x \to 0^-$:

  $$x^{-5} \to -\infty$$

• При $x \to +\infty$:

  $$x^{-5} \to 0^+$$

• При $x \to -\infty$:

  $$x^{-5} \to 0^-$$

Функция не имеет ни верхнего, ни нижнего ограничения.

5. Вывод об ограниченности

• Снизу: не ограничена (на $x < 0$ уходит в $-\infty$)
• Сверху: не ограничена (на $x > 0$ уходит в $+\infty$)

Ответ: не ограничена

г) $y = x^{\frac{2}{5}}$

1. Область определения

$$x^{\frac{2}{5}} = \left( \sqrt[5]{x} \right)^2$$

Так как пятая степень корня определена при всех $x$, но функция возводится затем во вторую степень, то отрицательные значения также дадут положительный результат.

Но в тексте указано:

$$x \geq 0 \Rightarrow D(y) = [0; +\infty)$$

2. Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{5}}) = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}}$$

3. Знак производной

• $x^{-\frac{3}{5}} > 0$ при $x > 0$
• $y'(x) > 0$

Вывод:
Функция возрастает на $(0; +\infty)$

4. Наименьшее значение

Наименьшее значение достигается при $x = 0$:

$$y(0) = 0^{\frac{2}{5}} = 0$$

5. Поведение на бесконечности

$$\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{2}{5}} = +\infty$$

6. Вывод об ограниченности

• Снизу: ограничена (наименьшее значение = 0)
• Сверху: не ограничена

Ответ: ограничена снизу