ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте степенную функцию на монотонность:

а) $y = x^{12}$;

б) $y = x^{-\frac{1}{6}}$;

в) $y = x^{-11}$;

г) $y = x^{\frac{1}{7}}$

Исследуйте степенную функцию на монотонность:

а) $y = x^{12}$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^{12})’ = 12x^{11}$;
Промежуток возрастания:
$x \geq 0$;
Ответ: возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$.

б) $y = x^{-\frac{1}{6}}$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Производная функции:
$y'(x) = \left(x^{-\frac{1}{6}}\right)’ = -\frac{1}{6}x^{-\frac{7}{6}}$;
Промежуток возрастания:
$x < 0$;
Ответ: убывает на $(0; +\infty)$.

в) $y = x^{-11}$;
Выражение имеет смысл при:
$x \neq 0$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^{-11})’ = -11x^{-12} < 0$;
Ответ: убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

г) $y = x^{\frac{1}{7}}$;
Выражение имеет смысл при:
$x \geq 0$;
Производная функции:
$y'(x) = \left(x^{\frac{1}{7}}\right)’ = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}}$;
Промежуток возрастания:
$x \geq 0$;
Ответ: возрастает на $[0; +\infty)$.

а) $y = x^{12}$

1. Область определения

Степенная функция с натуральным чётным показателем.

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

2. Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{12}) = 12x^{11}$$

3. Анализ производной

• $x^{11} > 0$ при $x > 0$
• $x^{11} < 0$ при $x < 0$
• $x^{11} = 0$ при $x = 0$

Следовательно:

• $y'(x) > 0$ при $x > 0$ → функция возрастает
• $y'(x) < 0$ при $x < 0$ → функция убывает
• $y'(x) = 0$ при $x = 0$

4. Промежутки монотонности

• Убывает на $(-\infty; 0)$
• Возрастает на $(0; +\infty)$
• В точке $x = 0$ производная равна нулю (локальный минимум)

Ответ:
Функция возрастает на $[0; +\infty)$, убывает на $(-\infty; 0]$

б) $y = x^{-\frac{1}{6}}$

1. Область определения

$$x^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{x^{1/6}} \quad \Rightarrow x > 0$$

Область определения:

$$D(y) = (0; +\infty)$$

2. Производная

Применим правило производной степенной функции:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{6}}) = -\frac{1}{6}x^{-\frac{7}{6}}$$

3. Анализ производной

• $x^{-\frac{7}{6}} > 0$ при $x > 0$
• Значит: $y'(x) = -\frac{1}{6}x^{-\frac{7}{6}} < 0$

4. Промежутки монотонности

Функция строго убывает на всей области определения $(0; +\infty)$

Ответ:
Функция убывает на $(0; +\infty)$

в) $y = x^{-11}$

1. Область определения

$$x^{-11} = \frac{1}{x^{11}} \Rightarrow x \neq 0$$

Область определения:

$$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

2. Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-11}) = -11x^{-12}$$

3. Анализ производной

• $x^{-12} > 0$ при любом $x \ne 0$
• Значит: $y'(x) = -11x^{-12} < 0$ при любом $x \ne 0$

4. Промежутки монотонности

Функция строго убывает на всей своей области определения:

• Убывает на $(-\infty; 0)$
• Убывает на $(0; +\infty)$

Ответ:
Функция убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

г) $y = x^{\frac{1}{7}}$

1. Область определения

$$x^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{x}$$

Кубический и другие нечётные корни определены при любом действительном $x$, но в тексте указано:

$$D(y) = [0; +\infty)$$

(возможно, ограничено специально для школьного уровня)

2. Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{7}}) = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}}$$

3. Анализ производной

• $x^{-\frac{6}{7}} > 0$ при $x > 0$
• $y'(x) > 0$ при $x > 0$
• В точке $x = 0$, формально:

  $$y'(x) = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}} \to +\infty \Rightarrow \text{производная стремится к бесконечности}$$

Функция возрастает на всём $[0; +\infty)$

4. Промежутки монотонности

• Возрастает на $(0; +\infty)$
• При $x = 0$: функция непрерывна, $y(0) = 0$, а рост начинается сразу

Ответ:
Функция возрастает на $[0;+\mathrm{\infty })$