ГДЗ 10-11 Класс Номер 38.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{1}{4}}$:

а) на отрезке [0; 1];

б) на луче [1; $+\mathrm{\infty })$;

в) на интервале (2; 3);

г) на полуинтервале (5; 16].

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{1}{4}}$.
(Функция вида $y = x^{\frac{m}{n}}$, где $\frac{m}{n} > 0$, монотонно возрастает);

а) На отрезке $[0; 1]$:
$y(0) = 0^{\frac{1}{4}} = 0$;
$y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На луче $[1; +\infty)$:
$y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 1$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) На интервале $(2; 3)$:
Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

г) На полуинтервале $(5; 16]$:
$y(16) = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$;
Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 2$.

Общие сведения о функции $y = x^{\frac{1}{4}}$

• Это степенная функция с положительным дробным показателем степени:

  $$y = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$$

• Область определения:
  Только неотрицательные значения переменной:

  $$D(y) = [0; +\infty)$$

• Монотонность:
  Функция строго возрастает на всей области определения, поскольку:

  $$\frac{1}{4} > 0 \Rightarrow \text{функция возрастает}$$

• Следствие:
  На любом допустимом интервале (при условии, что он не пустой), функция:
  • принимает наименьшее значение в левой границе (если включена),
  • наибольшее значение в правой границе (если включена),
  • не имеет точных наименьших/наибольших значений, если границы не входят в область.

а) На отрезке $[0; 1]$

Проверим границы отрезка:

• $x = 0 \in D(y)$
• $x = 1 \in D(y)$

Вычислим значения функции в концах:

• $y(0) = 0^{\frac{1}{4}} = 0$
• $y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$

Вывод:

• Минимум на отрезке достигается в левой точке: $y_{\text{наим}} = 0$
• Максимум — в правой точке: $y_{\text{наиб}} = 1$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 1$$

б) На луче $[1; +\infty)$

Анализ границы:

• Левая граница включена: $x = 1 \in D(y)$
• Правая граница не ограничена (уходит в бесконечность)

Проверим поведение функции:

• $y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$
• При $x \to +\infty$:

  $$y(x) = x^{\frac{1}{4}} \to +\infty$$

Функция не ограничена сверху, потому что она возрастает и уходит в бесконечность.

Вывод:

• Наименьшее значение достигается при $x = 1$:

  $$y_{\text{наим}} = 1$$

• Наибольшего значения нет, так как функции можно придать сколь угодно большое значение, выбирая достаточно большие $x$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 1; \quad y_{\text{наиб}} \text{ — нет}$$

в) На интервале $(2; 3)$

Анализ:

• Ни одна из границ не включена
• Функция возрастает на всём интервале

Но:

• Нет точки, в которой функция достигает минимального или максимального значения (границы не входят).

Поведение функции:

• При $x \to 2^+$: $y(x) \to 2^{1/4} \approx 1.189$
• При $x \to 3^-$: $y(x) \to 3^{1/4} \approx 1.316$

Но ни одно из этих значений не достигается, так как 2 и 3 не входят в интервал.

Вывод:

• Ни наименьшего, ни наибольшего значения нет

Ответ:

$$y_{\text{наим}} \text{ — нет}; \quad y_{\text{наиб}} \text{ — нет}$$

г) На полуинтервале $(5; 16]$

Границы:

• Левая граница $x = 5$ — не включена
• Правая граница $x = 16$ — включена

Поведение функции:

• Функция возрастает
• Следовательно:
  • Максимум достигается в правой границе $x = 16$
  • Минимума нет, так как в левой границе значение стремится к $5^{1/4}$, но точка не включена

Вычислим значение в правой границе:

$$y(16) = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt{4} = 2$$

Вывод:

• $y_{\text{наим}}$ — не существует
• $y_{\text{наиб}} = 2$

Ответ:

$$y_{\text{наим}}\text{ — нет};y_{\text{наиб}}=2$$