ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение аргумента x, при котором функция $y = \left( \frac{1}{5} \right)^x$принимает заданное значение:

а) $\frac{1}{25}$

б) $125$

в) $\frac{1}{25\sqrt{5}}$

г) $625\sqrt{5}$

Найти значение аргумента $x$, при котором функция $y = \left( \frac{1}{5} \right)^x$ принимает заданное значение:

а) $$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = \frac{1}{25} = \left( \frac{1}{5} \right)^2$;
Ответ: 2.

б)${}^{}$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = 125 = \left( \frac{1}{125} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{5} \right)^{-3}$;
Ответ: -3.

в) $$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = \frac{1}{25\sqrt{5}} = \left( \frac{1}{5} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{5} \right)^{2,5}$;
Ответ: 2,5.

г) $$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = 625\sqrt{5} = \left( \frac{1}{625\sqrt{5}} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{5} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{-\frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{5} \right)^{-4,5}$;
Ответ: -4,5.

Найти значение аргумента $x$, при котором функция

$$y = \left( \frac{1}{5} \right)^x$$

принимает заданное значение.

а)

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = \frac{1}{25}$$

Шаг 1. Представим число $\frac{1}{25}$ как степень с основанием $\frac{1}{5}$:

$$25 = 5^2 \Rightarrow \frac{1}{25} = \left( \frac{1}{5} \right)^2$$

Шаг 2. Подставим:

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = \left( \frac{1}{5} \right)^2$$

Шаг 3. Основания равны, значит можно приравнять степени:

$$x = 2$$

Ответ: 2.

б)

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = 125$$

Шаг 1. Представим 125 как степень пятёрки:

$$125 = 5^3$$

Шаг 2. Запишем в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$:

$$5^3 = \left( \frac{1}{5} \right)^{-3}$$

Шаг 3. Теперь:

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = \left( \frac{1}{5} \right)^{-3}$$

Шаг 4. Приравниваем степени:

$$x = -3$$

Ответ: -3.

в)

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = \frac{1}{25\sqrt{5}}$$

Шаг 1. Разложим $25$ и $\sqrt{5}$ в степени пятёрки:

$$25 = 5^2,\quad \sqrt{5} = 5^{0.5}$$

Шаг 2. Перемножим:

$$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{0.5} = 5^{2 + 0.5} = 5^{2.5}$$

Шаг 3. Тогда:

$$\frac{1}{25\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{2.5}} = \left( \frac{1}{5} \right)^{2.5}$$

Шаг 4. Теперь:

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = \left( \frac{1}{5} \right)^{2.5} \Rightarrow x = 2.5$$

Ответ: 2,5.

г)

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = 625\sqrt{5}$$

Шаг 1. Представим 625 и $\sqrt{5}$ как степени пятёрки:

$$625 = 5^4,\quad \sqrt{5} = 5^{0.5}$$

Шаг 2. Перемножим:

$$625\sqrt{5} = 5^4 \cdot 5^{0.5} = 5^{4.5}$$

Шаг 3. Запишем это как обратную степень:

$$5^{4.5} = \left( \frac{1}{5} \right)^{-4.5}$$

Шаг 4. Тогда уравнение принимает вид:

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = \left( \frac{1}{5} \right)^{-4.5} \Rightarrow x = -4.5$$

Ответ: -4,5.