ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:

а) $y = 4x — 1$;

б) $y = 18^x$;

в) $y = -3x^2 + 8$;

г) $y = \left( \frac{4}{11} \right)^x$

Указать, какие из заданных функций ограничены снизу:

а) $y = 4x — 1$;
Дана линейная функция;
Не ограничена ни снизу, ни сверху;

б) $y = 18^x$;
Дана показательная функция;
Ограничена снизу;

в) $y = -3x^2 + 8$;
Дано уравнение параболы;
Ветви направлены вниз;
Ограничена только сверху;

г) $y = \left( \frac{4}{11} \right)^x$;
Дана показательная функция;
Ограничена снизу;

Ответ: б); г).

Напоминание:

• Ограничена снизу — это значит, что существует такое число $M$, что значение функции никогда не опускается ниже $M$.
• Показательная функция $y = a^x$, где $a > 0,\ a \ne 1$, всегда положительна, и если $a > 1$, она возрастает, а если $0 < a < 1$, убывает. Но в любом случае она ограничена снизу нулём:

  $$\lim_{x \to -\infty} a^x = 0,\quad \text{но } y > 0\ \forall x$$

• Линейные функции не имеют ни нижней, ни верхней границы.
• Квадратичные функции (параболы) ограничены снизу или сверху в зависимости от направления ветвей.

а) $y = 4x — 1$

Шаг 1. Это линейная функция, то есть график — прямая.

Шаг 2. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$;
При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$

Шаг 3. Следовательно, значение функции может быть любым реальным числом — нет ни нижней, ни верхней границы.

Вывод:
Функция не ограничена снизу (и не ограничена сверху).

б) $y = 18^x$

Шаг 1. Это показательная функция с основанием $a = 18 > 1$

Шаг 2. Свойства показательной функции:

• $y > 0$ при любом $x$
• $\lim_{x \to -\infty} 18^x = 0$
• Функция возрастает: при $x \to +\infty$, $y \to +\infty$

Шаг 3. Значит:

• Нижняя граница есть: $y > 0$
• Верхней границы нет

Вывод:
Функция ограничена снизу.

в) $y = -3x^2 + 8$

Шаг 1. Это квадратичная функция (парабола), записанная в форме:

$$y = ax^2 + bx + c,\quad \text{где } a = -3 < 0$$

Шаг 2. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз

Шаг 3. Максимум достигается в вершине параболы, а затем функция убывает по обе стороны

Шаг 4. Значит:

• Есть верхняя граница (значение в вершине)
• Но нижней границы нет: при $|x| \to \infty,\ y \to -\infty$

Вывод:
Функция не ограничена снизу

г) $y = \left( \frac{4}{11} \right)^x$

Шаг 1. Это показательная функция с основанием $a = \frac{4}{11}$, то есть $0 < a < 1$

Шаг 2. Свойства:

• Функция убывает
• $y > 0$ для всех $x$
• $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{4}{11} \right)^x = 0$
• Но $y$ никогда не достигает нуля

Шаг 3.

• Нижняя граница есть: $y > 0$
• Верхней границы нет

Вывод:
Функция ограничена снизу

Итог:

Среди данных функций ограничены снизу только:

Ответ: б); г).