ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Укажите, какие из заданных функций не ограничены сверху:

а) $y = -3x^2 + 1$;

б) $y = (0{,}6)^x$;

в) $y = (7{,}2)^x$;

г) $y = \cos x$

Указать, какие из заданных функций не ограничены сверху:

а) $y = -3x^2 + 1$;
Дано уравнение параболы;
Ветви направлены вниз;
Ограничена сверху;

б) $y = (0{,}6)^x$;
Дана показательная функция;
Ограничена только снизу;

в) $y = (7{,}2)^x$;
Дана показательная функция;
Ограничена только снизу;

г) $y = \cos x$;
Дано уравнение синусоиды;
Ограничена и сверху, и снизу;

Ответ: б); в).

Напоминание:

• Функция не ограничена сверху, если её значения могут становиться сколь угодно большими (то есть стремиться к бесконечности).
• Ограничена сверху — значит, существует такое число $M$, что $y \leq M$ при любом $x$.
• Показательные функции $y = a^x$, где $a > 1$, не ограничены сверху, потому что при $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.
• Показательные функции при $0 < a < 1$ убывают, но всё равно не ограничены сверху при $x \to -\infty$.
• Параболы и тригонометрические функции имеют характерные ограничения.

а) $y = -3x^2 + 1$

Шаг 1. Это квадратичная функция:

$$y = ax^2 + bx + c, \quad \text{где } a = -3 < 0$$

Шаг 2. Ветви параболы направлены вниз, так как $a < 0$

Шаг 3. Значит, существует максимальное значение функции — вершина параболы, и все значения функции не превышают его.

Шаг 4. Это значит, что функция ограничена сверху.

Вывод:
Функция ограничена сверху
⇒ Она ограничена, не подходит

б) $y = (0{,}6)^x$

Шаг 1. Это показательная функция с основанием $a = 0{,}6$, где $0 < a < 1$

Шаг 2. Такая функция убывает, потому что $a < 1$

Шаг 3. При $x \to +\infty$, $y \to 0$
При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$

Шаг 4. Следовательно, она ограничена снизу, но не ограничена сверху

Вывод:
Функция не ограничена сверху

в) $y = (7{,}2)^x$

Шаг 1. Это показательная функция с основанием $a = 7{,}2 > 1$

Шаг 2. Такая функция возрастает

Шаг 3. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$

Шаг 4. Значения функции не имеют верхней границы

Вывод:
Функция не ограничена сверху

г) $y = \cos x$

Шаг 1. Это тригонометрическая функция, определённая на всей числовой оси

Шаг 2. Известно, что:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

Шаг 3. Значения функции всегда лежат в пределах от -1 до 1

Шаг 4. Значит, функция ограничена и сверху, и снизу

Вывод:
Функция ограничена сверху, не подходит

Итог:

Функции, не ограниченные сверху:
Ответ: б); в).