ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните числа:

а) ${\mathrm{}}^{}$$1{,}3^{34}$ и $1{,}3^{40}$;

б) $$$\left(\frac{7}{9}\right)^{16{,}2}$ и $\left(\frac{7}{9}\right)^{-3}$;

в) ${\mathrm{}}^{}$$12{,}1^{\sqrt{3}}$ и $12{,}1^{\sqrt{5}}$;

г)$$$(0{,}65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0{,}65)^{\frac{1}{2}}$

Сравнить числа:

а) ${\mathrm{}}^{}$$1{,}3^{34}$ и $1{,}3^{40}$;
Основание степени больше единицы:
$1{,}3 > 1$;
Функция возрастает:
$34 < 40$;
Ответ: $1{,}3^{34} < 1{,}3^{40}$.

б) $$$\left(\frac{7}{9}\right)^{16{,}2}$ и $\left(\frac{7}{9}\right)^{-3}$;
Основание степени меньше единицы:
$7 < 9$;
$\frac{7}{9} < 1$;
Функция убывает:
$16{,}2 > -3$;
Ответ: $\left(\frac{7}{9}\right)^{16{,}2} < \left(\frac{7}{9}\right)^{-3}$.

в) ${\mathrm{}}^{}$$12{,}1^{\sqrt{3}}$ и $12{,}1^{\sqrt{5}}$;
Основание степени больше единицы:
$12{,}1 > 1$;
Функция возрастает:
$\sqrt{3} < \sqrt{5}$;
Ответ: $12{,}1^{\sqrt{3}} < 12{,}1^{\sqrt{5}}$.

г)$$$(0{,}65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0{,}65)^{\frac{1}{2}}$;
Основание степени меньше единицы:
$0{,}65 < 1$;
Функция убывает:
$-\sqrt{2} < \frac{1}{2}$;
Ответ: $(0{,}65)^{-\sqrt{2}} > (0{,}65)^{\frac{1}{2}}$.

а) $1{,}3^{34}$ и $1{,}3^{40}$

Шаг 1. Основание степени:

$$1{,}3 > 1$$

Шаг 2. Показательная функция с основанием $a > 1$ — возрастающая.
Это значит:
если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$

Шаг 3. Сравниваем показатели:

$$34 < 40 \Rightarrow 1{,}3^{34} < 1{,}3^{40}$$

Вывод:
Поскольку функция возрастает, при увеличении показателя степень увеличивается.
Следовательно:

Ответ: $1{,}3^{34} < 1{,}3^{40}$.

б) $\left(\frac{7}{9}\right)^{16{,}2}$ и $\left(\frac{7}{9}\right)^{-3}$

Шаг 1. Основание степени:

$$\frac{7}{9} < 1,\quad \text{так как } 7 < 9$$

Шаг 2. Показательная функция с $0 < a < 1$ — убывающая.
Значит:
если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$

Шаг 3. Сравниваем показатели:

$$16{,}2 > -3 \Rightarrow \text{бóльшая степень даёт мéньшее значение}$$

Следовательно:

$$\left(\frac{7}{9}\right)^{16{,}2} < \left(\frac{7}{9}\right)^{-3}$$

Ответ: $\left(\frac{7}{9}\right)^{16{,}2} < \left(\frac{7}{9}\right)^{-3}$.

в) $12{,}1^{\sqrt{3}}$ и $12{,}1^{\sqrt{5}}$

Шаг 1. Основание степени:

$$12{,}1 > 1$$

Шаг 2. Функция $y = 12{,}1^x$ возрастает, так как основание $> 1$

Шаг 3. Сравним показатели:

$$\sqrt{3} \approx 1{,}732,\quad \sqrt{5} \approx 2{,}236 \Rightarrow \sqrt{3} < \sqrt{5}$$

Шаг 4. Поскольку функция возрастает, большее значение показателя даёт большее значение всей степени:

$$12{,}1^{\sqrt{3}} < 12{,}1^{\sqrt{5}}$$

Ответ: $12{,}1^{\sqrt{3}} < 12{,}1^{\sqrt{5}}$.

г) $(0{,}65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0{,}65)^{\frac{1}{2}}$

Шаг 1. Основание степени:

$$0{,}65 < 1$$

Шаг 2. Показательная функция убывает при основании $< 1$

Шаг 3. Сравниваем показатели:

$$-\sqrt{2} \approx -1{,}414,\quad \frac{1}{2} = 0{,}5 \Rightarrow -\sqrt{2} < 0{,}5$$

Шаг 4. Убывающая функция:
Если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$

Значит:

$$(0{,}65)^{-\sqrt{2}} > (0{,}65)^{\frac{1}{2}}$$

Ответ: $(0{,}65)^{-\sqrt{2}} > (0{,}65)^{\frac{1}{2}}$.