ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните с единицей заданное число:

а) $17^{-\frac{3}{4}}$;

б) $(9{,}1)^{\sqrt{7}}$;

в) $\left( \frac{5}{3} \right)^{-2{,}5}$;

г) $\left( \frac{1}{2} \right)^8$

Сравнить с единицей заданное число:

а) $17^{-\frac{3}{4}}$;
Основание степени больше единицы:
$17 > 1$;
Функция возрастает:
$\frac{3}{4} < 0$;
$17^{\frac{3}{4}} < 17^0$;
Ответ: $17^{\frac{3}{4}} < 1$.

б) $(9{,}1)^{\sqrt{7}}$;
Основание степени больше единицы:
$9{,}1 > 1$;
Функция возрастает:
$\sqrt{7} > 0$;
$(9{,}1)^{\sqrt{7}} > (9{,}1)^0$;
Ответ: $(9{,}1)^{\sqrt{7}} > 1$.

в) $\left( \frac{5}{3} \right)^{-2{,}5}$;
Основание степени больше единицы:
$5 > 3$;
$\frac{5}{3} > 1$;
Функция возрастает:
$-2{,}5 < 0$;
$\left( \frac{5}{3} \right)^{-2{,}5} < \left( \frac{5}{3} \right)^0$;
Ответ: $\left( \frac{5}{3} \right)^{-2{,}5} < 1$.

г) $\left( \frac{1}{2} \right)^8$;
Основание степени меньше единицы:
$1 < 2$;
$\frac{1}{2} < 1$;
Функция убывает:
$8 > 0$;
$\left( \frac{1}{2} \right)^8 < \left( \frac{1}{2} \right)^0$;
Ответ: $\left( \frac{1}{2} \right)^8 < 1$.

а)

$$17^{-\frac{3}{4}} \quad \text{— сравнить с 1}$$

Шаг 1. Определим основание степени:

$$17 > 1$$

Шаг 2. Это показательная функция вида $y = a^x$ с $a > 1$, значит функция возрастает.

Шаг 3. Сравним показатель степени $-\frac{3}{4}$ с нулём:

$$-\frac{3}{4} < 0$$

Шаг 4. У возрастающей функции при уменьшении показателя результат тоже уменьшается:

$$17^{-\frac{3}{4}} < 17^0 = 1$$

Шаг 5. Следовательно:

$$17^{-\frac{3}{4}} < 1$$

Ответ: $17^{-\frac{3}{4}} < 1$

б)

$$(9{,}1)^{\sqrt{7}} \quad \text{— сравнить с 1}$$

Шаг 1. Основание степени:

$$9{,}1 > 1$$

Шаг 2. Показательная функция возрастает при $a > 1$

Шаг 3. Показатель степени $\sqrt{7} \approx 2{,}645 > 0$

Шаг 4. Сравним с нулевым показателем:

$$(9{,}1)^{\sqrt{7}} > (9{,}1)^0 = 1$$

Ответ: $(9{,}1)^{\sqrt{7}} > 1$

в)

$$\left( \frac{5}{3} \right)^{-2{,}5} \quad \text{— сравнить с 1}$$

Шаг 1. Основание степени:

$$\frac{5}{3} = 1{,}666\ldots > 1$$

Шаг 2. Основание больше единицы → функция возрастает

Шаг 3. Показатель степени:

$$-2{,}5 < 0$$

Шаг 4. У возрастающей функции:
меньший показатель → меньшее значение функции:

$$\left( \frac{5}{3} \right)^{-2{,}5} < \left( \frac{5}{3} \right)^0 = 1$$

Ответ: $\left( \frac{5}{3} \right)^{-2{,}5} < 1$

г)

$$\left( \frac{1}{2} \right)^8 \quad \text{— сравнить с 1}$$

Шаг 1. Основание:

$$\frac{1}{2} = 0{,}5 < 1$$

Шаг 2. Основание меньше 1 → функция убывает

Шаг 3. Показатель $8 > 0$

Шаг 4. У убывающей функции:
больший показатель → меньшее значение:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^8 < \left( \frac{1}{2} \right)^0 = 1$$

Ответ: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^8<1$