ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите числа в порядке возрастания:

а) $2^{\frac{1}{3}};2^{1,5};2^{\sqrt{2}};2^{-\sqrt{2}};2^{1,4};1;$

б) $0,3^9;1;0,3^{-\sqrt{5}};0,3^{\frac{1}{2}};0,3^{-9};0,3^{\frac{1}{3}}$

Расположить числа в порядке возрастания:
а) $2^{\frac{1}{3}}; 2^{1,5}; 2^{\sqrt{2}}; 2^{-\sqrt{2}}; 2^{1,4}; 1;$

Основание степени больше единицы:
$2 > 1;$

Функция возрастает:
$-\sqrt{2} < 0 < \frac{1}{3} < 1,4 < \sqrt{2} < 1,5;$

$2^{-\sqrt{2}} < 2^0 < 2^{\frac{1}{3}} < 2^{1,4} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{1,5};$

Ответ: $2^{-\sqrt{2}}; 1; 2^{\frac{1}{3}}; 2^{1,4}; 2^{\sqrt{2}}; 2^{1,5}.$.

б) $0,3^9; 1; 0,3^{-\sqrt{5}}; 0,3^{\frac{1}{2}}; 0,3^{-9}; 0,3^{\frac{1}{3}};$

Основание степени меньше единицы:
$0,3 < 1;$

Функция убывает:
$-9 < -\sqrt{5} < 0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 9;$

$0,3^{-9} > 0,3^{-\sqrt{5}} > 0,3^0 > 0,3^{\frac{1}{3}} > 0,3^{\frac{1}{2}} > 0,3^9;$

Ответ: $0,3^9; 0,3^{\frac{1}{2}}; 0,3^{\frac{1}{3}}; 1; 0,3^{-\sqrt{5}}; 0,3^{-9}.$

а) $2^{\frac{1}{3}};\;2^{1,5};\;2^{\sqrt{2}};\;2^{-\sqrt{2}};\;2^{1,4};\;1$

Перепишем число 1 как степень того же основания: $1=2^0$. Тогда весь набор имеет вид $2^{-\sqrt{2}},\;2^0,\;2^{\frac{1}{3}},\;2^{1,4},\;2^{\sqrt{2}},\;2^{1,5}$.

Поскольку основание степени больше единицы: $2>1$, функция $f(x)=2^x$ строго возрастает по $x$. Это означает: если $x<y$, то $2^x<2^y$.

Осталось упорядочить показатели степеней по возрастанию. Сравним их:
• Отрицательный показатель самый маленький: $-\sqrt{2}<0$.
• $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$, значит $0<\frac{1}{3}$.
• Сравним $1{,}4$, $\sqrt{2}$ и $1{,}5$. Заметим, что $(1{,}4)^2=1{,}96<2$, а $(1{,}5)^2=2{,}25>2$. Отсюда $1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5$.

Итак, показатели по возрастанию:

$$-\sqrt{2}<0<\tfrac{1}{3}<1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5.$$

Применяем возрастание функции $2^x$: чем меньше показатель, тем меньше и значение степени. Следовательно,

$$2^{-\sqrt{2}}<2^{0}<2^{\frac{1}{3}}<2^{1{,}4}<2^{\sqrt{2}}<2^{1{,}5}.$$

Возвращаясь к исходной записи (вместо $2^0$ пишем 1), окончательный порядок возрастания:

$$\boxed{\,2^{-\sqrt{2}};\;1;\;2^{\frac{1}{3}};\;2^{1{,}4};\;2^{\sqrt{2}};\;2^{1{,}5}\,}.$$

б) $0{,}3^9;\;1;\;0{,}3^{-\sqrt{5}};\;0{,}3^{\frac{1}{2}};\;0{,}3^{-9};\;0{,}3^{\frac{1}{3}}$

Снова перепишем число 1 через то же основание: $1=0{,}3^0$. Тогда набор показателей: $-9,\;-\sqrt{5},\;0,\;\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{2},\;9$.

Здесь основание меньше единицы: $0{,}3<1$. Для любого $a\in(0,1)$ функция $g(x)=a^x$ строго убывает по $x$ (эквивалентно: $\ln a<0$, и потому $g'(x)=a^x\ln a<0$). Значит: если $x<y$, то $0{,}3^x>0{,}3^y$.

Упорядочим показатели по возрастанию. Оценим $\sqrt{5}\approx2{,}236$. Тогда

$$-9<-\sqrt{5}<0<\tfrac{1}{3}<\tfrac{1}{2}<9.$$

Так как функция убывает, направление неравенств при переходе к значениям степеней меняется на противоположное. Следовательно, получаем по убыванию значений:

$$0{,}3^{-9}>0{,}3^{-\sqrt{5}}>0{,}3^{0}>0{,}3^{\frac{1}{3}}>0{,}3^{\frac{1}{2}}>0{,}3^{9}.$$

Тогда по возрастанию значений:

$$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{0,3}}^9;{\mathrm{0,3}}^{\frac{1}{2}};{\mathrm{0,3}}^{\frac{1}{3}};1;{\mathrm{0,3}}^{-\sqrt{5}};{\mathrm{0,3}}^{-9}}}\mathrm{.}$$