ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = (\sqrt{2})^x$, $(-\infty; 4]$;

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$, $(-\infty; 2]$;

в) $y = (\sqrt[3]{5})^x$, $[0; +\infty)$;

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$, $[-2; +\infty)$

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

а) $y = (\sqrt{2})^x$, $(-\infty; 4]$;

Функция возрастает:

$2 > 1$;

$\sqrt{2} > 1$;

Значения функции:

$y(4) = (\sqrt{2})^4 = 2^2 = 4$;

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 4$.

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$, $(-\infty; 2]$;

Функция убывает:

$1 < 3$;

$1 < \sqrt{3}$;

$\frac{1}{\sqrt{3}} < 1$;

Значения функции:

$y(2) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = \frac{1}{3}$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) $y = (\sqrt[3]{5})^x$, $[0; +\infty)$;

Функция возрастает:

$5 > 1$;

$\sqrt[3]{5} > 1$;

Значения функции:

$y(0) = (\sqrt[3]{5})^0 = 1$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = 1$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$, $[-2; +\infty)$;

Функция убывает:

$1 < 7$;

$1 < \sqrt{7}$;

$\frac{1}{\sqrt{7}} < 1$;

Значения функции:

$y(-2) = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} = (\sqrt{7})^2 = 7$;

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 7$.

а) $y = (\sqrt{2})^x$, $x \in (-\infty;\ 4]$

Шаг 1. Анализ основания степени

• Основание показательной функции: $\sqrt{2}$
• Заметим: $\sqrt{2} \approx 1.4142$, значит
  $\sqrt{2} > 1$

Шаг 2. Свойство функции

• Показательная функция $y = a^x$, при $a > 1$, возрастает на всей числовой прямой.
• Значит, чем больше $x$, тем больше $y$

Шаг 3. Промежуток определения

• $x \in (-\infty;\ 4]$ — неограничен слева, ограничен справа
• Максимальное значение $x$ достигается при $x = 4$
• Минимальное значение не существует, потому что $x \to -\infty$

Шаг 4. Наибольшее значение

$$y(4) = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{2} = 4$$

Шаг 5. Наименьшее значение

• При $x \to -\infty$, $(\sqrt{2})^x \to 0$, но никогда не достигает нуля
• Следовательно, наименьшего значения нет

Ответ:

$y_{\text{наим}}$ — нет;
$y_{\text{наиб}} = 4$

б) $y = \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$, $x \in (-\infty;\ 2]$

Шаг 1. Основание функции

• Основание степени: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
• $\sqrt{3} \approx 1.732 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 < 1$

Шаг 2. Свойство функции

• Если $0 < a < 1$, то $y = a^x$ — убывающая функция
• При возрастании $x$, $y$ уменьшается

Шаг 3. Промежуток

• $x \in (-\infty;\ 2]$
• Максимум будет при наименьшем значении x, а минимум — при x = 2

Шаг 4. Наименьшее значение

$$y(2) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \dfrac{1}{3}$$

Шаг 5. Наибольшее значение

• Когда $x \to -\infty$, $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^x \to +\infty$
• Следовательно, наибольшего значения нет

Ответ:

$y_{\text{наим}} = \dfrac{1}{3}$;
$y_{\text{наиб}}$ — нет

в) $y = (\sqrt[3]{5})^x$, $x \in [0;\ +\infty)$

Шаг 1. Основание функции

• $\sqrt[3]{5} = 5^{1/3} \approx 1.710 > 1$

Шаг 2. Свойство функции

• $a > 1 \Rightarrow$ функция возрастает

Шаг 3. Промежуток

• Отрезок $[0; +\infty)$
• Минимум достигается в начале отрезка
• Максимум — не существует (предел при $x \to +\infty$ — бесконечность)

Шаг 4. Наименьшее значение

$$y(0) = (\sqrt[3]{5})^0 = 1$$

Шаг 5. Наибольшее значение

• Нет, так как $y \to +\infty$

Ответ:

$y_{\text{наим}} = 1$;
$y_{\text{наиб}}$ — нет

г) $y = \left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$, $x \in [-2;\ +\infty)$

Шаг 1. Основание функции

• $\dfrac{1}{\sqrt{7}} \approx 0.378 < 1$

Шаг 2. Свойство функции

• Основание от 0 до 1 $\Rightarrow$ функция убывает

Шаг 3. Промежуток

• $x \in [-2;\ +\infty)$
• Максимум достигается при наименьшем x, то есть при $x = -2$

Шаг 4. Наибольшее значение

$$y(-2) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} = (\sqrt{7})^2 = 7$$

Шаг 5. Наименьшее значение

• При $x \to +\infty$, $\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right)^x \to 0$, но никогда не достигает
• Значит, наименьшего значения нет

Ответ:

$y_{\text{наим}}$ — нет;
$y_{\text{наиб}}=7$$y_{\text{наиб}} = 7$