ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите, на каком отрезке функция $y = 2^x$ принимает наибольшее значение, равное 32, и наименьшее, равное $\frac{1}{2}$.

Дана функция: $y = 2^x$;

Функция монотонно возрастает:
$2 > 1$;

Наименьшее значение функции равно $\frac{1}{2}$:
$2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1}$,
$x = -1$;

Наибольшее значение функции равно 32:
$2^x = 32 = 2^5$,
$x = 5$;

Ответ: $[-1; 5]$.

Дана функция:

$$y = 2^x$$

1) Свойство функции

Рассмотрим функцию $y = 2^x$

Шаг 1. Анализ основания

• Основание степени: число 2
• $2 > 1$

Шаг 2. Вывод о монотонности

• Если основание показательной функции $a > 1$, то функция $y = a^x$ монотонно возрастает (возрастает на всей числовой прямой).

Следовательно:
Функция $y = 2^x$ — монотонно возрастает.

2) Наименьшее значение функции — $\frac{1}{2}$

Шаг 1. Задано:

$$2^x = \frac{1}{2}$$

Шаг 2. Представим правую часть как степень двойки

$$\frac{1}{2} = 2^{-1}$$

Шаг 3. Приравниваем показатели

$$2^x = 2^{-1} \Rightarrow x = -1$$

Вывод:

Функция принимает значение $\frac{1}{2}$ при $x = -1$
Это наименьшее значение, так как функция возрастает.

3) Наибольшее значение функции — 32

Шаг 1. Задано:

$$2^x = 32$$

Шаг 2. Представим правую часть как степень двойки

$$32 = 2^5$$

Шаг 3. Приравниваем показатели

$$2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$$

Вывод:

Функция достигает значения 32 при $x = 5$
Это наибольшее значение, так как функция возрастает.

4) Промежуток, где функция принимает значения от $\frac{1}{2}$ до $32$

Шаг 1. Наименьшее значение

• $y = \frac{1}{2}$ при $x = -1$

Шаг 2. Наибольшее значение

• $y = 32$ при $x = 5$

Шаг 3. Учитывая монотонность функции

• Функция возрастает → между $x = -1$ и $x = 5$ она принимает все значения от $\frac{1}{2}$ до $32$

Вывод:

Функция $y = 2^x$ принимает все значения от $\frac{1}{2}$ до $32$ на отрезке $[-1;\ 5]$

Ответ:

$$[-1;\ 5]$$