ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y = 4^{x^2 — 1}$;

б) $y = 7^{\frac{1}{x}}$;

в) $y = \left( \frac{3}{8} \right)^{-x^2 + 2}$;

г) $y = 9{,}1^{\frac{1}{x — 1}}$

Найти область определения функции:

а) $y = 4^{x^2 — 1}$;
Выражение имеет смысл при:
$(x^2 — 1) \in \mathbb{R}$;
$x \in \mathbb{R}$;
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = 7^{\frac{1}{x}}$;
Выражение имеет смысл при:
$\frac{1}{x} \in \mathbb{R}$;
$x \ne 0$;
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) $y = \left( \frac{3}{8} \right)^{-x^2 + 2}$;
Выражение имеет смысл при:
$(-x^2 + 2) \in \mathbb{R}$;
$x \in \mathbb{R}$;
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = 9{,}1^{\frac{1}{x — 1}}$;
Выражение имеет смысл при:
$\frac{1}{x — 1} \in \mathbb{R}$;
$x — 1 \ne 0$;
$x \ne 1$;
Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

а) $y = 4^{x^2 — 1}$

Шаг 1. Анализ функции

Это показательная функция вида $a^{f(x)}$, где $a = 4 > 0$, $a \ne 1$

Шаг 2. Свойство

Функция $y = a^{f(x)}$ определена при любом вещественном показателе $f(x)$, если основание $a > 0$, $a \ne 1$

Шаг 3. Выражение в степени

$$f(x) = x^2 — 1$$

Это многочлен, определён при всех $x \in \mathbb{R}$

Шаг 4. Следствие

Показатель $x^2 — 1 \in \mathbb{R}$ для всех $x$, значит, функция определена на всей числовой прямой.

Ответ:

$$D(y) = (-\infty;\ +\infty)$$

б) $y = 7^{\frac{1}{x}}$

Шаг 1. Анализ функции

Показательная функция с основанием $a = 7 > 1$

Шаг 2. Требование

Функция $y = 7^{f(x)}$ определена при любом $f(x) \in \mathbb{R}$

Шаг 3. Разбор показателя

$$f(x) = \frac{1}{x}$$

Знаменатель не может быть равен нулю →

$$x \ne 0$$

Шаг 4. Следствие

$$f(x) \in \mathbb{R}, \text{ если } x \ne 0$$

Ответ:

$$D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$$

в) $y = \left( \frac{3}{8} \right)^{-x^2 + 2}$

Шаг 1. Анализ

Показательная функция с основанием $\frac{3}{8} \approx 0{,}375$, то есть

$$0 < \frac{3}{8} < 1$$

Шаг 2. Показатель

$$f(x) = -x^2 + 2$$

Это многочлен (квадратичная функция), определён при всех $x \in \mathbb{R}$

Шаг 3. Вывод

Так как основание положительное и $f(x) \in \mathbb{R}$ для всех $x$, область определения — вся числовая прямая.

Ответ:

$$D(y) = (-\infty;\ +\infty)$$

г) $y = 9{,}1^{\frac{1}{x — 1}}$

Шаг 1. Основание

$a = 9{,}1 > 1$, допустимое основание

Шаг 2. Показатель

$$f(x) = \frac{1}{x — 1}$$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$x — 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$$

Шаг 3. Вывод

Показатель $f(x) \in \mathbb{R}$, если $x \ne 1$
Функция определена при всех $x \ne 1$

Ответ:

$$D(y) = (-\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$$

Итоговые ответы:

а) $D(y) = (-\infty;\ +\infty)$
б) $D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$
в) $D(y) = (-\infty;\ +\infty)$
г) $D(y) = (-\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$