ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что для функции у = $f(x)$, где $f(x)=2^x$, выполняется равенство:

а) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$;

б) $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$;

в) $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$;

г) $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}$

Доказать, что для функции $f(x) = 2^x$ выполняется равенство:

а) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$;
$f(x_1) \cdot f(x_2) = 2^{x_1} \cdot 2^{x_2} = 2^{x_1 + x_2}$;
$f(x_1 + x_2) = 2^{x_1 + x_2}$;
Что и требовалось доказать.

б) $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$;
$f(x + 1) \cdot f(2x) = 2^{x+1} \cdot 2^{2x} = 2^{3x+1}$;
$2f^3(x) = 2 \cdot (2^x)^3 = 2 \cdot 2^{3x} = 2^{3x+1}$;
Что и требовалось доказать.

в) $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$;
$f(-2x) = 2^{-2x} = \frac{1}{2^{2x}}$;
$\frac{1}{f^2(x)} = \frac{1}{(2^x)^2} = \frac{1}{2^{2x}}$;
Что и требовалось доказать.

г) $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}$;
$f(\cos^2 x) = 2^{\cos^2 x} = 2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}$;
$\sqrt{2f(\cos 2x)} = \sqrt{2 \cdot 2^{\cos 2x}} = \sqrt{2^{1+\cos 2x}} = 2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}$;
Что и требовалось доказать.

Доказать, что для функции $f(x) = 2^x$ выполняется равенство:

а) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$

Шаг 1. По условию дана функция $f(x) = 2^x$.
Тогда:

$$f(x_1) = 2^{x_1}, \quad f(x_2) = 2^{x_2}$$

Шаг 2. Подставим выражения в левую часть равенства:

$$f(x_1) \cdot f(x_2) = 2^{x_1} \cdot 2^{x_2}$$

Шаг 3. Используем основное свойство степеней с одинаковым основанием:

$$2^{x_1} \cdot 2^{x_2} = 2^{x_1 + x_2}$$

Шаг 4. Подставим правую часть:

$$f(x_1 + x_2) = 2^{x_1 + x_2}$$

Шаг 5. Сравниваем обе части:

$$f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$$

Вывод: равенство доказано. Что и требовалось доказать.

б) $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$

Шаг 1. По определению функции:

$$f(x + 1) = 2^{x + 1}, \quad f(2x) = 2^{2x}, \quad f(x) = 2^x$$

Шаг 2. Подставим в левую часть:

$$f(x + 1) \cdot f(2x) = 2^{x + 1} \cdot 2^{2x}$$

Шаг 3. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$$2^{x + 1} \cdot 2^{2x} = 2^{(x + 1 + 2x)} = 2^{3x + 1}$$

Шаг 4. Перейдём к правой части:

$$f^3(x) = (f(x))^3 = (2^x)^3 = 2^{3x}$$ $$2f^3(x) = 2 \cdot 2^{3x} = 2^{1} \cdot 2^{3x} = 2^{3x + 1}$$

Шаг 5. Сравниваем:

$$f(x + 1) \cdot f(2x) = 2^{3x + 1} = 2f^3(x)$$

Вывод: равенство доказано. Что и требовалось доказать.

в) $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$

Шаг 1. По определению:

$$f(-2x) = 2^{-2x}, \quad f(x) = 2^x \Rightarrow f^2(x) = (2^x)^2 = 2^{2x}$$

Шаг 2. Найдём правую часть:

$$\frac{1}{f^2(x)} = \frac{1}{2^{2x}} = 2^{-2x}$$

Шаг 3. Левую часть:

$$f(-2x) = 2^{-2x}$$

Шаг 4. Сравниваем:

$$f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$$

Вывод: равенство доказано. Что и требовалось доказать.

г) $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}$

Шаг 1. Используем определение:

$$f(\cos^2 x) = 2^{\cos^2 x}, \quad f(\cos 2x) = 2^{\cos 2x}$$

Шаг 2. Преобразуем $\cos^2 x$ с помощью формулы понижения степени:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Шаг 3. Подставим это в левую часть:

$$f(\cos^2 x) = 2^{\frac{1 + \cos 2x}{2}}$$

Шаг 4. Преобразуем правую часть:

$$\sqrt{2f(\cos 2x)} = \sqrt{2 \cdot 2^{\cos 2x}} = \sqrt{2^{1 + \cos 2x}}$$

Шаг 5. Вспомним, что $\sqrt{a} = a^{1/2}$, тогда:

$$\sqrt{2^{1 + \cos 2x}} = (2^{1 + \cos 2x})^{1/2} = 2^{\frac{1 + \cos 2x}{2}}$$

Шаг 6. Итак, правая часть:

$$\sqrt{2f(\cos 2x)} = 2^{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = f(\cos^2 x)$$

Вывод: равенство доказано. Что и требовалось доказать.