ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке:

а) $y = 3^{x-1} + 8,\ [-3; 1]$;

б) $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + 4,\ [-1; 2]$;

в) $y = 7^{x-2} + 9,\ [0; 2]$;

г) $y = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 13,\ [2; 3]$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке:

а) $y = 3^{x-1} + 8,\ [-3; 1]$;
Функция возрастает:
$3 > 1$;
Значения функции:
$y(-3) = 3^{-3-1} + 8 = 3^{-4} + 8 = \frac{1}{3^4} + 8 = \frac{1}{81} + 8 = 8\frac{1}{81}$;
$y(1) = 3^{1-1} + 8 = 3^0 + 8 = 1 + 8 = 9$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 8\frac{1}{81};\ y_{\text{наиб}} = 9$.

б) $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + 4,\ [-1; 2]$;
Функция убывает:
$\frac{3}{5} < 1$;
Значения функции:
$y(-1) = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-1} + 4 = 5 \cdot \frac{5}{3} + 4 = \frac{25}{3} + 4 = 8\frac{1}{3} + 4 = 12\frac{1}{3}$;
$y(2) = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 + 4 = 5 \cdot \frac{9}{25} + 4 = \frac{9}{5} + 4 = 1,8 + 4 = 5,8$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 5,8;\ y_{\text{наиб}} = 12\frac{1}{3}$.

в) $y = 7^{x-2} + 9,\ [0; 2]$;
Функция возрастает:
$7 > 1$;
Значения функции:
$y(0) = 7^{0-2} + 9 = 7^{-2} + 9 = \frac{1}{7^2} + 9 = \frac{1}{49} + 9 = 9\frac{1}{49}$;
$y(2) = 7^{2-2} + 9 = 7^0 + 9 = 1 + 9 = 10$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 9\frac{1}{49};\ y_{\text{наиб}} = 10$.

г) $y = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 13,\ [2; 3]$;
Функция убывает:
$\frac{1}{2} < 1$;
Значения функции:
$y(2) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{4} + 13 = 1 + 13 = 14$;
$y(3) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{8} + 13 = 0,5 + 13 = 13,5$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 13,5;\ y_{\text{наиб}} = 14$.

а) $y = 3^{x-1} + 8,\quad [-3; 1]$

Шаг 1. Определим тип функции

Функция имеет вид:

$$y = a^{x — b} + c$$

где:

• $a = 3 > 1$ — показатель больше 1 ⇒ функция возрастает
• значит, на интервале значения функции увеличиваются с ростом $x$

Шаг 2. Найдём значения на концах промежутка

Так как функция возрастает, наименьшее значение будет при $x = -3$, наибольшее — при $x = 1$.

Вычислим:

$x = -3$

$$y(-3) = 3^{(-3) — 1} + 8 = 3^{-4} + 8 = \frac{1}{3^4} + 8 = \frac{1}{81} + 8 = 8\frac{1}{81}$$

$x = 1$

$$y(1) = 3^{1 — 1} + 8 = 3^0 + 8 = 1 + 8 = 9$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 8\frac{1}{81}; \quad y_{\text{наиб}} = 9$$

б) $y = 5 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^x + 4,\quad [-1; 2]$

Шаг 1. Определим поведение функции

Основание показателя:

$$\frac{3}{5} < 1$$

⇒ показательная функция с основанием меньше 1 убывает

Значит, наибольшее значение при наименьшем $x = -1$, наименьшее — при $x = 2$

Шаг 2. Найдём значения функции на концах промежутка

$x = -1$:

$$y(-1) = 5 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{-1} + 4 = 5 \cdot \frac{5}{3} + 4 = \frac{25}{3} + 4 = \frac{25}{3} + \frac{12}{3} = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3}$$

$x = 2$:

$$y(2) = 5 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^2 + 4 = 5 \cdot \frac{9}{25} + 4 = \frac{45}{25} + 4 = \frac{9}{5} + 4 = 1{,}8 + 4 = 5{,}8$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 5{,}8; \quad y_{\text{наиб}} = 12\frac{1}{3}$$

в) $y = 7^{x-2} + 9,\quad [0; 2]$

Шаг 1. Анализ функции

Функция:

$$y = 7^{x — 2} + 9$$

Основание $7 > 1$ ⇒ функция возрастает

Значит, наименьшее значение при $x = 0$, наибольшее — при $x = 2$

Шаг 2. Вычислим значения функции на границах

$x = 0$:

$$y(0) = 7^{0 — 2} + 9 = 7^{-2} + 9 = \frac{1}{7^2} + 9 = \frac{1}{49} + 9 = 9\frac{1}{49}$$

$x = 2$:

$$y(2) = 7^{2 — 2} + 9 = 7^0 + 9 = 1 + 9 = 10$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 9\frac{1}{49}; \quad y_{\text{наиб}} = 10$$

г) $y = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^x + 13,\quad [2; 3]$

Шаг 1. Поведение функции

Основание: $\frac{1}{2} < 1$ ⇒ функция убывает

Значит, наибольшее значение при меньшем $x = 2$, наименьшее — при $x = 3$

Шаг 2. Вычислим значения функции

$x = 2$:

$$y(2) = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{4} + 13 = 1 + 13 = 14$$

$x = 3$:

$$y(3) = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{8} + 13 = 0{,}5 + 13 = 13{,}5$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}}=\mathrm{13,5};y_{\text{наиб}}=14$$