ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3^x = 9$;

б) $3^x = \frac{1}{3}$;

в) $3^x = 27$;

г) $3^x = \frac{1}{81}$

Решить уравнение:

а) $3^x = 9$;
$3^x = 3^2$;
$x = 2$;
Ответ: 2.

б) $3^x = \frac{1}{3}$;
$3^x = 3^{-1}$;
$x = -1$;
Ответ: -1.

в) $3^x = 27$;
$3^x = 3^3$;
$x = 3$;
Ответ: 3.

г) $3^x = \frac{1}{81}$;
$3^x = 3^{-4}$;
$x = -4$;
Ответ: -4.

Показательное уравнение имеет вид:

$$a^x = a^b \quad \Rightarrow \quad x = b$$

Если левая и правая части можно представить как степени одного и того же основания, то показатели равны.

Также:

• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• $a^0 = 1$
• $a^1 = a$

а) $3^x = 9$

Шаг 1. Представим правую часть как степень числа 3:

$$9 = 3^2$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$3^x = 3^2$$

Шаг 3. Основания одинаковые, значит показатели равны:

$$x = 2$$

Ответ: 2

б) $3^x = \frac{1}{3}$

Шаг 1. Представим правую часть как степень числа 3 с отрицательным показателем:

$$\frac{1}{3} = 3^{-1}$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$3^x = 3^{-1}$$

Шаг 3. Основания одинаковые ⇒ равны степени:

$$x = -1$$

Ответ: -1

в) $3^x = 27$

Шаг 1. Представим число 27 как степень числа 3:

$$27 = 3^3$$

Шаг 2. Подставим:

$$3^x = 3^3$$

Шаг 3. При равных основаниях:

$$x = 3$$

Ответ: 3

г) $3^x = \frac{1}{81}$

Шаг 1. Представим 81 как степень числа 3:

$$81 = 3^4 \Rightarrow \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$3^x = 3^{-4}$$

Шаг 3. Основания одинаковые ⇒ показатели равны:

$$x = -4$$

Ответ: -4