ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $4^x \leq 64$;

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{8}$;

в) $5^x \geq 25$;

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{8}{27}$

Решить неравенство:

а) $4^x \leq 64$;
$4^x \leq 4^3$;
$x \leq 3$;
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{8}$;
$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^3$;
$x < 3$;
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в) $5^x \geq 25$;
$5^x \geq 5^2$;
$x \geq 2$;
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{8}{27}$;
$\left(\frac{2}{3}\right)^x < \left(\frac{2}{3}\right)^3$;
$x > 3$;
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

Теория, необходимая для решения

Показательная функция $a^x$, где $a > 0$, обладает следующими свойствами:

• Если $a > 1$, то функция возрастает:

  $$a^x_1 < a^x_2 \quad \text{при} \quad x_1 < x_2$$

  ⇒ знак неравенства сохраняется при переходе от $a^x \leq a^k$ к $x \leq k$

• Если $0 < a < 1$, то функция убывает:

  $$a^x_1 > a^x_2 \quad \text{при} \quad x_1 < x_2$$

  ⇒ знак неравенства меняется при переходе от $a^x < a^k$ к $x > k$

а) $4^x \leq 64$

Шаг 1. Представим правую часть как степень 4:

$$64 = 4^3$$

Шаг 2. Перепишем неравенство:

$$4^x \leq 4^3$$

Шаг 3. Так как $4 > 1$, функция $4^x$ возрастает, следовательно знак сохраняется:

$$x \leq 3$$

Шаг 4. Запишем ответ в виде множества:

$$x \in (-\infty; 3]$$

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$

б) $\left( \frac{1}{2} \right)^x > \frac{1}{8}$

Шаг 1. Представим правую часть как степень $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$$

Шаг 2. Перепишем неравенство:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^x > \left( \frac{1}{2} \right)^3$$

Шаг 3. Основание $\frac{1}{2} < 1$ ⇒ функция убывает, знак меняется на противоположный:

$$x < 3$$

Шаг 4. Запишем ответ:

$$x \in (-\infty; 3)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$

в) $5^x \geq 25$

Шаг 1. Представим 25 как степень 5:

$$25 = 5^2$$

Шаг 2. Перепишем неравенство:

$$5^x \geq 5^2$$

Шаг 3. Так как $5 > 1$, функция возрастает, знак сохраняется:

$$x \geq 2$$

Шаг 4. Ответ в виде множества:

$$x \in [2; +\infty)$$

Ответ: $x \in [2; +\infty)$

г) $\left( \frac{2}{3} \right)^x < \frac{8}{27}$

Шаг 1. Представим $\frac{8}{27}$ как степень $\frac{2}{3}$:

$$\frac{8}{27} = \left( \frac{2}{3} \right)^3 \quad \text{так как} \quad \frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3}$$

Шаг 2. Перепишем неравенство:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^x < \left( \frac{2}{3} \right)^3$$

Шаг 3. Основание $\frac{2}{3} < 1$, функция убывает, значит знак меняется на противоположный:

$$x > 3$$

Шаг 4. Ответ в виде промежутка:

$$x \in (3; +\infty)$$

Ответ: $x\in (3;+\mathrm{\infty })$