ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\left( \frac{1}{3} \right)^x \geq 81$;

б) $15^x < \frac{1}{225}$;

в) $\left( \frac{2}{7} \right)^x \leq \frac{343}{8}$;

г) $2^x > \frac{1}{256}$

Решить неравенство:

а) $\left( \frac{1}{3} \right)^x \geq 81$;
$3^{-x} \geq 3^4$;
$-x \geq 4$;
$x \leq -4$;
Ответ: $x \in (-\infty; -4]$.

б) $15^x < \frac{1}{225}$;
$15^x < 15^{-2}$;
$x < -2$;
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

в) $\left( \frac{2}{7} \right)^x \leq \frac{343}{8}$;
$\left( \frac{7}{2} \right)^{-x} \leq \left( \frac{7}{2} \right)^3$;
$-x \leq 3$;
$x \geq -3$;
Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

г) $2^x > \frac{1}{256}$;
$2^x > 2^{-8}$;
$x > -8$;
Ответ: $x \in (-8; +\infty)$.

Теория перед решением

Для показательной функции $a^x$, где $a > 0$, действуют следующие свойства:

• Если $a > 1$, то функция возрастает, и знак неравенства сохраняется:
  $a^x > a^k \Rightarrow x > k$
• Если $0 < a < 1$, то функция убывает, и знак меняется на противоположный:
  $a^x > a^k \Rightarrow x < k$
• Также полезно помнить:
  • $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$
  • $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$

а) $\left( \frac{1}{3} \right)^x \geq 81$

Шаг 1. Перепишем левую часть, используя отрицательную степень:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^x = 3^{-x}$$

Шаг 2. Представим 81 как степень 3:

$$81 = 3^4$$

Шаг 3. Подставим в неравенство:

$$3^{-x} \geq 3^4$$

Шаг 4. Основание $3 > 1$, функция возрастающая ⇒ приравниваем показатели:

$$— x \geq 4 \quad \Rightarrow \quad x \leq -4$$

Ответ: $x \in (-\infty; -4]$

б) $15^x < \frac{1}{225}$

Шаг 1. Представим $\frac{1}{225}$ как степень числа 15:

$$225 = 15^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{225} = 15^{-2}$$

Шаг 2. Подставим в неравенство:

$$15^x < 15^{-2}$$

Шаг 3. Основание $15 > 1$, функция возрастающая ⇒ знак сохраняется:

$$x < -2$$

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$

в) $\left( \frac{2}{7} \right)^x \leq \frac{343}{8}$

Шаг 1. Заметим, что:

$$\frac{343}{8} = \frac{7^3}{2^3} = \left( \frac{7}{2} \right)^3$$

Шаг 2. Перепишем левую часть:

$$\left( \frac{2}{7} \right)^x = \left( \frac{7}{2} \right)^{-x}$$

Шаг 3. Получаем:

$$\left( \frac{7}{2} \right)^{-x} \leq \left( \frac{7}{2} \right)^3$$

Шаг 4. Основание $\frac{7}{2} > 1$, функция возрастающая ⇒ приравниваем показатели:

$$— x \leq 3 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3$$

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$

г) $2^x > \frac{1}{256}$

Шаг 1. Представим $\frac{1}{256}$ как степень двойки:

$$256 = 2^8 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{256} = 2^{-8}$$

Шаг 2. Подставим в неравенство:

$$2^x > 2^{-8}$$

Шаг 3. Основание $2 > 1$, функция возрастает ⇒ знак сохраняется:

$$x > -8$$

Ответ: $x\in (-8;+\mathrm{\infty })$