ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = 2^x + 1$;

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x — 2$;

в) $y = 4^x — 1$;

г) $y = (0{,}1)^x + 2$

Построить график функции:

а) $y = 2^x + 1$;
Построим график функции $y = 2^x$;
Переместим его на 1 единицу вверх:

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x — 2$;
Построим график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$;
Переместим его на 2 единицы вниз:

в) $y = 4^x — 1$;
Построим график функции $y = 4^x$;
Переместим его на 1 единицу вниз:

г) $y = (0{,}1)^x + 2$;
Построим график функции $y = (0{,}1)^x$;
Переместим его на 2 единицы вверх:

а) $y = 2^x + 1$

Шаг 1: Определим базовую функцию
Рассмотрим функцию $y = 2^x$. Это показательная функция с основанием $a = 2$, где $a > 1$.
Основные свойства функции $y = 2^x$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$;
• Множество значений: $E(y) = (0, +\infty)$;
• Функция возрастает на всей области определения;
• График проходит через точку $(0; 1)$, так как $2^0 = 1$;
• При $x \to -\infty$ значение функции стремится к нулю, но не достигает его;
• При $x \to +\infty$ значение функции стремится к бесконечности.

Шаг 2: Преобразуем график
Функция $y = 2^x + 1$ — это вертикальный сдвиг графика функции $y = 2^x$ на 1 единицу вверх.
Это означает, что:

• Каждая точка графика $y = 2^x$ поднимается на 1 единицу;
• Новая точка: $(0; 1 + 1) = (0; 2)$;
• Асимптота $y = 0$ поднимается до $y = 1$.

Вывод:
График функции $y = 2^x + 1$ расположен выше графика $y = 2^x$, параллельно ему, и имеет горизонтальную асимптоту $y = 1$.

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x — 2$

Шаг 1: Определим базовую функцию
Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Основание дробное: $a = \frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$.
Основные свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$;
• Множество значений: $E(y) = (0, +\infty)$;
• Функция убывает на всей области определения;
• Проходит через точку $(0; 1)$, так как $\left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$;
• При $x \to -\infty$, функция стремится к бесконечности;
• При $x \to +\infty$, функция стремится к нулю.

Шаг 2: Преобразуем график
Функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x — 2$ — это сдвиг графика $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ вниз на 2 единицы.
Это означает:

• Точка $(0; 1) \to (0; -1)$;
• Асимптота $y = 0$ опускается до $y = -2$;
• Вся кривая смещается вниз, но форма остается прежней.

Вывод:
График убывает, как и раньше, но теперь расположен ниже и имеет горизонтальную асимптоту $y = -2$.

в) $y = 4^x — 1$

Шаг 1: Определим базовую функцию
Рассмотрим $y = 4^x$. Это показательная функция с $a = 4 > 1$.
Основные свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$;
• Значения: $E(y) = (0, +\infty)$;
• Функция возрастает на всей области определения;
• Проходит через $(0; 1)$, так как $4^0 = 1$;
• При $x \to -\infty$ — стремится к 0, при $x \to +\infty$ — к бесконечности.

Шаг 2: Преобразуем график
Функция $y = 4^x — 1$ — это сдвиг вниз на 1 единицу:

• Точка $(0; 1) \to (0; 0)$;
• Асимптота: $y = 0 \to y = -1$.

Вывод:
Форма графика не изменилась, он по-прежнему возрастает, но теперь расположен ниже и имеет горизонтальную асимптоту $y = -1$.

г) $y = (0{,}1)^x + 2$

Шаг 1: Определим базовую функцию
Функция $y = (0{,}1)^x$ — показательная с основанием $a = 0{,}1$, то есть $0 < a < 1$.
Свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$;
• Значения: $E(y) = (0, +\infty)$;
• Функция убывает;
• Точка $(0; 1)$, так как $(0{,}1)^0 = 1$;
• При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$;
• При $x \to +\infty$, $y \to 0$.

Шаг 2: Преобразуем график
Функция $y = (0{,}1)^x + 2$ — это сдвиг вверх на 2 единицы:

• Точка $(0; 1) \to (0; 3)$;
• Асимптота $y = 0 \to y = 2$.

Вывод:
Функция убывает, как и раньше, но график выше и имеет горизонтальную асимптоту $y = 2$.