ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 5^{x+1}$;

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x-2}$;

в) $y = 3^{x-2}$;

г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+0.5}$

Построить график функции:

а) $y = 5^{x+1}$;
Построим график функции $y = 5^x$;
Переместим его на 1 единицу влево:

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x-2}$;
Построим график функции $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$;
Переместим его на 2 единицы вправо:

в) $y = 3^{x-2}$;
Построим график функции $y = 3^x$;
Переместим его на 2 единицы вправо:

г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+0.5}$;
Построим график функции $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$;
Переместим его на 0,5 единиц влево:

а) $y = 5^{x+1}$

Шаг 1: Базовая функция

Рассмотрим функцию $y = 5^x$.
Это показательная функция с основанием $a = 5 > 1$, значит, функция возрастает.

Свойства функции $y = 5^x$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$ (можно подставлять любое значение $x$);
• Множество значений: $E(y) = (0, +\infty)$ (значения только положительные);
• Функция возрастает: чем больше $x$, тем больше $y$;
• График проходит через точку $(0; 1)$, так как $5^0 = 1$;
• Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (график к ней приближается при $x \to -\infty$).

Шаг 2: Преобразование функции

Функция $y = 5^{x+1}$ — это сдвиг графика функции $y = 5^x$ на 1 единицу влево по оси $x$.

Это значит:

• Каждая точка графика $y = 5^x$ с координатами $(x; y)$ становится точкой $(x — 1; y)$;
• Например: точка $(0; 1) \to (-1; 1)$.

Вывод:
График остаётся возрастающим, форма не меняется, но он сдвигается влево на 1 единицу. Асимптота остаётся прежней: $y = 0$.

б) $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x — 2}$

Шаг 1: Базовая функция

Рассмотрим $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$, основание $a = \frac{3}{4}$, где $0 < a < 1$.
Это убывающая показательная функция.

Свойства функции $y = \left(\frac{3}{4}\right)^x$:

• Область определения: $(-\infty, +\infty)$;
• Множество значений: $(0, +\infty)$;
• Функция убывает: при увеличении $x$, $y$ уменьшается;
• График проходит через точку $(0; 1)$, потому что $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$;
• Асимптота: $y = 0$.

Шаг 2: Преобразование функции

Функция $y = \left(\frac{3}{4}\right)^{x — 2}$ — это сдвиг графика вправо на 2 единицы по оси $x$.

Это значит:

• Точка $(0; 1) \to (2; 1)$;
• Вся кривая движется вправо, не меняя формы.

Вывод:
График остаётся убывающим, асимптота остаётся $y = 0$, весь график сдвинут вправо на 2 единицы.

в) $y = 3^{x — 2}$

Шаг 1: Базовая функция

Функция $y = 3^x$, где $a = 3 > 1$, значит — возрастающая.

Свойства $y = 3^x$:

• Область определения: $(-\infty, +\infty)$;
• Значения: $(0, +\infty)$;
• Возрастает;
• Проходит через $(0; 1)$;
• Асимптота: $y = 0$.

Шаг 2: Преобразование функции

$y = 3^{x — 2}$ — это сдвиг графика вправо на 2 единицы.

• Точка $(0; 1) \to (2; 1)$;
• Все остальные точки также смещаются.

Вывод:
Форма не меняется, график по-прежнему возрастает, но сдвинут вправо на 2 единицы, асимптота остаётся $y = 0$.

г) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x + 0.5}$

Шаг 1: Базовая функция

Функция $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, где $0 < a = \frac{2}{3} < 1$ — убывающая.

Свойства:

• Область определения: $(-\infty, +\infty)$;
• Значения: $(0, +\infty)$;
• Убывает;
• Проходит через $(0; 1)$;
• Асимптота: $y = 0$.

Шаг 2: Преобразование функции

$y = \left(\frac{2}{3}\right)^{x + 0.5}$ — это сдвиг графика влево на 0.5 единиц (то есть на половину клетки, если строить).

• Точка $(0; 1) \to (-0.5; 1)$;
• Вся кривая смещается влево, сохраняет форму.

Вывод:
График остаётся убывающим, но сдвигается влево на 0.5 единиц, асимптота остаётся $y = 0$.