ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^x = -2x + 8$;

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 11$;

в) $3^x = -x + 1$;

г) $0,2^x = x + 6$

Решить графически уравнение:

а) $2^x = -2x + 8$;
$y = 2^x$ — показательная функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 1 & 4 & 8 \\ \hline \end{array}$$

$y = -2x + 8$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 4 \\ \hline y & 8 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = 2$.

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 11$;
$y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ — показательная функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 9 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$y = x + 11$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -4 & 0 \\ \hline y & 7 & 11 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = -2$.

в) $3^x = -x + 1$;
$y = 3^x$ — показательная функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 3 & 9 \\ \hline \end{array}$$

$y = -x + 1$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 \\ \hline y & 3 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = 0$.

г) $0,2^x = x + 6$;
$y = 0,2^x$ — показательная функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 25 & 5 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$y = x + 6$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -6 & 0 \\ \hline y & 0 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = -1$.

а) Решить уравнение:

$$2^x = -2x + 8$$

Шаг 1: Распишем уравнение как равенство двух функций

Мы хотим найти $x$, при котором значения двух функций равны:

• $y_1 = 2^x$ — показательная функция
• $y_2 = -2x + 8$ — линейная функция (прямая)

Шаг 2: Построим таблицу значений для $y_1 = 2^x$

Функция $2^x$ — это возрастающая экспонента. Рассчитаем значения для нескольких $x$:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = 2^x \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 8 \\ 4 & 16 \\ \hline \end{array}$$

Комментарий: при $x = 0$, $2^x = 1$; при увеличении $x$, значения быстро растут: $2, 4, 8, 16$.

Шаг 3: Построим таблицу значений для $y_2 = -2x + 8$

Это линейная функция, убывающая с угловым коэффициентом $-2$. Подставим значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = -2x + 8 \\ \hline 0 & 8 \\ 1 & 6 \\ 2 & 4 \\ 3 & 2 \\ 4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Комментарий: при $x = 0$, $y = 8$; при увеличении $x$, $y$ убывает на 2 за каждый шаг.

Шаг 4: Сравним значения обеих функций

Поищем, при каком $x$ функции равны:

При $x = 2$, обе функции дают значение 4. Это точка пересечения графиков, то есть решение уравнения.

Ответ:

$$\boxed{x = 2}$$

б) Решить уравнение:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 11$$

Шаг 1: Представим как две функции

• $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ — убывающая показательная функция
• $y_2 = x + 11$ — возрастающая прямая

Шаг 2: Таблица значений для $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

Эта функция убывает, потому что основание дробное $\left( \frac{1}{3} < 1 \right)$:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \\ \hline -2 & 9 \quad \left(= 3^2\right) \\ -1 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & \frac{1}{3} \\ 2 & \frac{1}{9} \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Таблица значений для $y = x + 11$

Это прямая, растущая с коэффициентом 1:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = x + 11 \\ \hline -4 & 7 \\ -2 & 9 \\ 0 & 11 \\ 1 & 12 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 4: Сравнение значений

При $x = -2$, обе функции дают значение 9, это точка пересечения.

Ответ:

$$\boxed{x = -2}$$

в) Решить уравнение:

$$3^x = -x + 1$$

Шаг 1: Представим как две функции

• $y_1 = 3^x$ — возрастающая экспонента
• $y_2 = -x + 1$ — убывающая прямая

Шаг 2: Таблица значений $y = 3^x$

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = 3^x \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 9 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Таблица значений $y = -x + 1$

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = -x + 1 \\ \hline -2 & 3 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 4: Сравнение значений

Оба графика пересекаются в точке $x = 0$.

Ответ:

$$\boxed{x = 0}$$

г) Решить уравнение:

$$0{,}2^x = x + 6$$

Шаг 1: Представим как функции

• $y_1 = 0{,}2^x$ — убывающая показательная функция (основание $0{,}2 < 1$)
• $y_2 = x + 6$ — прямая

Шаг 2: Таблица значений $y = 0{,}2^x$

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = 0{,}2^x \\ \hline -2 & 25 \quad \left(= \frac{1}{0{,}2^2} = \frac{1}{0{,}04}\right) \\ -1 & 5 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Таблица значений $y = x + 6$

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = x + 6 \\ \hline -6 & 0 \\ -2 & 4 \\ -1 & 5 \\ 0 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 4: Сравнение значений

При $x = -1$, обе функции дают значение 5 — это и есть решение.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=-1}}$$