ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях х график заданной показательной функции лежит выше графика заданной линейной функции:

а) $y = 3^x$, $y = -x + 1$;

б) $y = 0.5^x$, $y = 2x + 1$;

в) $y = 5^x$, $y = -2x + 1$;

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = x + 1$

При каких значениях $x$ график заданной показательной функции лежит выше графика заданной линейной функции:

а) $y = 3^x$, $y = -x + 1$;
Функция $y = 3^x$ возрастает на $R$;
Функция $y = -x + 1$ убывает на $R$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(0) = 3^0 = 1$;
$y_2(0) = -0 + 1 = 1$;
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б) $y = 0.5^x$, $y = 2x + 1$;
Функция $y = 0.5^x$ убывает на $R$;
Функция $y = 2x + 1$ возрастает на $R$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(0) = 0.5^0 = 1$;
$y_2(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$;
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

в) $y = 5^x$, $y = -2x + 1$;
Функция $y = 5^x$ возрастает на $R$;
Функция $y = -2x + 1$ убывает на $R$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(0) = 5^0 = 1$;
$y_2(0) = -2 \cdot 0 + 1 = 1$;
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = x + 1$;
Функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ убывает на $R$;
Функция $y = x + 1$ возрастает на $R$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$;
$y_2(0) = 0 + 1 = 1$;
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

а) $y = 3^x$, $y = -x + 1$

1. Анализ функции $y = 3^x$:
– Это показательная функция с основанием $a = 3 > 1$,
– Значит, она возрастает на всей области определения $\mathbb{R}$,
– При $x \to -\infty$, $3^x \to 0$,
– При $x \to +\infty$, $3^x \to +\infty$.

2. Анализ функции $y = -x + 1$:
– Это линейная функция,
– Угловой коэффициент отрицателен ($-1$), значит, функция убывает на $\mathbb{R}$,
– При $x \to -\infty$, $-x + 1 \to +\infty$,
– При $x \to +\infty$, $-x + 1 \to -\infty$.

3. Найдём точку пересечения (решим уравнение $3^x = -x + 1$):
Методом подстановки подставим значения:

– При $x = 0$:
$3^0 = 1$,  $-0 + 1 = 1$
→ Значения равны, это точка пересечения графиков.

4. Поведение графиков относительно друг друга:
– При $x < 0$:
$3^x < 1$,  $-x + 1 > 1$
→ Показательная функция ниже линейной.

– При $x > 0$:
$3^x > 1$,  $-x + 1 < 1$
→ Показательная функция выше линейной.

5. Вывод:
График функции $y = 3^x$ лежит выше графика $y = -x + 1$,
если $x \in (0; +\infty)$.

Ответ:
$x \in (0; +\infty)$

б) $y = 0.5^x$, $y = 2x + 1$

1. Анализ функции $y = 0.5^x$:
– Это показательная функция с основанием $a = 0.5 < 1$,
– Значит, она убывает на $\mathbb{R}$,
– При $x \to -\infty$, $0.5^x \to +\infty$,
– При $x \to +\infty$, $0.5^x \to 0$.

2. Анализ функции $y = 2x + 1$:
– Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом,
– Значит, функция возрастает на $\mathbb{R}$,
– При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$,
– При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

3. Найдём точку пересечения:
Подставим $x = 0$:

– $0.5^0 = 1$,  $2 \cdot 0 + 1 = 1$
→ Значения равны, это точка пересечения.

4. Поведение графиков относительно друг друга:
– При $x < 0$:
$0.5^x > 1$,  $2x + 1 < 1$
→ Показательная функция выше линейной.

– При $x > 0$:
$0.5^x < 1$,  $2x + 1 > 1$
→ Показательная функция ниже линейной.

5. Вывод:
График функции $y = 0.5^x$ лежит выше графика $y = 2x + 1$,
если $x \in (-\infty; 0)$

Ответ:
$x \in (-\infty; 0)$

в) $y = 5^x$, $y = -2x + 1$

1. Анализ функции $y = 5^x$:
– Показательная функция с основанием $5 > 1$,
– Функция возрастает на $\mathbb{R}$,
– При $x \to -\infty$, $y \to 0$,
– При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

2. Анализ функции $y = -2x + 1$:
– Линейная функция с отрицательным коэффициентом,
– Функция убывает,
– При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$,
– При $x \to +\infty$, $y \to -\infty$.

3. Точка пересечения:
Подставим $x = 0$:
– $5^0 = 1$,  $-2 \cdot 0 + 1 = 1$
→ Значения равны, это точка пересечения.

4. Поведение графиков:
– При $x < 0$:
$5^x < 1$,  $-2x + 1 > 1$
→ Показательная функция ниже линейной.

– При $x > 0$:
$5^x > 1$,  $-2x + 1 < 1$
→ Показательная функция выше линейной.

5. Вывод:
График $y = 5^x$ выше графика $y = -2x + 1$,
если $x \in (0; +\infty)$

Ответ:
$x \in (0; +\infty)$

г) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = x + 1$

1. Анализ функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$:
– Показательная функция с основанием $\frac{1}{3} < 1$,
– Значит, функция убывает,
– При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$,
– При $x \to +\infty$, $y \to 0$.

2. Анализ функции $y = x + 1$:
– Линейная функция с положительным коэффициентом,
– Функция возрастает,
– При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$,
– При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

3. Точка пересечения:
Подставим $x = 0$:
– $\left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$,  $0 + 1 = 1$
→ Это точка пересечения.

4. Сравнение на других промежутках:
– При $x < 0$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1$,  $x + 1 < 1$
→ Показательная функция выше линейной.

– При $x > 0$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x < 1$,  $x + 1 > 1$
→ Показательная функция ниже линейной.

5. Вывод:
График $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ лежит выше графика $y = x + 1$,
если $x \in (-\infty; 0)$

Ответ:
$x \in (-\infty; 0)$