ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.42 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 2^x$, $y = 3 — x$;

б) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, $y = -x — 3$;

в) $y = (\sqrt{2})^x$, $y = 4 — x$;

г) $y = \left(\frac{3}{7}\right)^x$, $y = -x — 2$

При каких значениях $x$ график заданной показательной функции лежит выше графика заданной линейной функции:

а) $y = 2^x$, $y = 3 — x$;
Функция $y = 2^x$ возрастает на $R$;
Функция $y = 3 — x$ убывает на $R$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 2^1 = 2$;
$y_2(1) = 3 — 1 = 2$;
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$, $y = -x — 3$;
$y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ — показательная функция:

$y = -x — 3$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $y = (\sqrt{2})^x$, $y = 4 — x$;
Функция $y = (\sqrt{2})^x$ возрастает на $R$;
Функция $y = 4 — x$ убывает на $R$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(2) = (\sqrt{2})^2 = 2$;
$y_2(2) = 4 — 2 = 2$;
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

г) $y = \left(\frac{3}{7}\right)^x$, $y = -x — 2$;
$y = \left(\frac{3}{7}\right)^x$ — показательная функция:

$y = -x — 2$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

При каких значениях $x$ график заданной показательной функции лежит выше графика заданной линейной функции?

То есть:
Найти множество таких $x$, при которых
$y_1(x) > y_2(x)$
где:

• $y_1(x)$ — показательная функция
• $y_2(x)$ — линейная функция

а) $y = 2^x$, $y = 3 — x$

1. Поведение функций

• $y = 2^x$:
  Это показательная функция с основанием $2 > 1$.
  Значит, она возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, то есть чем больше $x$, тем больше значение функции.
• $y = 3 — x$:
  Это линейная функция с коэффициентом при $x$ равным $-1$.
  Значит, функция убывает на всей числовой прямой.

2. Найдём точку пересечения графиков

Для этого приравняем правые части уравнений:

$$2^x = 3 — x$$

Это уравнение не решается аналитически в общем виде, но можно найти точку пересечения методом подбора (или графически).

Проверим $x = 1$:

• $y_1(1) = 2^1 = 2$
• $y_2(1) = 3 — 1 = 2$

Значения равны — это точка пересечения графиков.

3. Анализ взаимного расположения графиков

Так как:

• $y = 2^x$ возрастает
• $y = 3 — x$ убывает
• В точке $x = 1$ они равны

Следовательно:

• При $x < 1$: $2^x < 3 — x$
• При $x > 1$: $2^x > 3 — x$

Ответ:

$$x \in (1; +\infty)$$

б) $y = \left(\dfrac{2}{5}\right)^x$, $y = -x — 3$

1. Поведение функций

• $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$:
  Показательная функция с основанием $0 < \frac{2}{5} < 1$.
  Значит, функция убывает на всей числовой прямой.
  График расположен выше оси $x$ (всегда $y > 0$).
• $y = -x — 3$:
  Линейная функция с угловым коэффициентом $-1$ — убывает.
  Значения могут быть как положительными, так и отрицательными.

2. Таблица значений

Для показательной функции:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \begin{cases} \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = 6.25 \\ \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{2} = 2.5 \\ \left(\frac{2}{5}\right)^0 = 1 \end{cases}$$

Для линейной функции:

$$y = -x — 3 \Rightarrow \begin{cases} x = -3 \Rightarrow y = 0 \\ x = 0 \Rightarrow y = -3 \end{cases}$$

3. Анализ

• При $x = -2$:
  $y_1 = 6.25$, $y_2 = -(-2) — 3 = 2 — 3 = -1$ → $y_1 > y_2$
• При $x = -1$:
  $y_1 = 2.5$, $y_2 = 1 — 3 = -2$ → $y_1 > y_2$
• При $x = 0$:
  $y_1 = 1$, $y_2 = -3$ → $y_1 > y_2$
• При больших значениях $x$:
  • Показательная функция стремится к $0$
  • Линейная функция уходит в $-\infty$
    → Показательная всё равно выше

Вывод:

График показательной функции лежит выше линейной при всех значениях $x$.

Ответ:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$

в) $y = (\sqrt{2})^x$, $y = 4 — x$

1. Поведение функций

• $y = (\sqrt{2})^x$:
  Это показательная функция с основанием $\sqrt{2} \approx 1.41 > 1$, значит возрастает.
• $y = 4 — x$:
  Линейная функция с коэффициентом при $x$ равным $-1$, значит убывает.

2. Найдём точку пересечения

Приравниваем:

$$(\sqrt{2})^x = 4 — x$$

Решим подбором:

• $x = 2$:
  $y_1 = (\sqrt{2})^2 = 2$, $y_2 = 4 — 2 = 2$

—> Это точка пересечения.

3. Сравнение

• При $x > 2$:
  • $y_1 = (\sqrt{2})^x$ растёт
  • $y_2 = 4 — x$ убывает
    → $y_1 > y_2$
• При $x < 2$:
  $y_1 < y_2$

Ответ:

$$x \in (2; +\infty)$$

г) $y = \left(\dfrac{3}{7}\right)^x$, $y = -x — 2$

1. Поведение функций

• $y = \left(\dfrac{3}{7}\right)^x$:
  Основание $\dfrac{3}{7} < 1$ → функция убывает, значения всегда положительные.
• $y = -x — 2$:
  Линейная функция, убывает (коэффициент $-1$)

2. Таблица значений

Для показательной:

$$\left(\dfrac{3}{7}\right)^x = \begin{cases} x = -2 \Rightarrow \left(\dfrac{7}{3}\right)^2 = \dfrac{49}{9} \approx 5.44 \\ x = -1 \Rightarrow \dfrac{7}{3} \approx 2.33 \\ x = 0 \Rightarrow 1 \end{cases}$$

Для линейной:

$$x = -2 \Rightarrow -(-2) — 2 = 0 \\ x = 0 \Rightarrow -2$$

3. Анализ

• При всех проверенных значениях:
  $y_{\text{показат.}} > y_{\text{линейная}}$
• Показательная стремится к $0$ справа и $+\infty$ слева
• Линейная стремится к $-\infty$ при $x \to +\infty$, и к $+\infty$ при $x \to -\infty$,
  но значительно медленнее возрастает/убывает

→ График показательной функции всегда выше

Ответ:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in (1; +\infty)$
б) $x \in (-\infty; +\infty)$
в) $x \in (2; +\infty)$
г) $x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$