ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.45 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^x = \frac{2}{x}$;

б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = -\frac{4}{x}$;

в) $5^x = \frac{5}{x}$;

г) $\left(\frac{1}{8}\right)^x = -\frac{8}{x}$

Решить уравнение:

а) $2^x = \frac{2}{x}$;

Уравнение имеет решения при $x > 0$;
Функция $y = 2^x$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Функция $y = \frac{2}{x}$ убывает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 2^1 = 2$;
$y_2(1) = \frac{2}{1} = 2$;
Ответ: 1.

б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = -\frac{4}{x}$;

Уравнение имеет решения при $x < 0$;
Функция $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ убывает на $(-\infty; 0)$;
Функция $y = -\frac{4}{x}$ возрастает на $(-\infty; 0)$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(-1) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$;
$y_2(-1) = -\frac{4}{-1} = 4$;
Ответ: -1.

в) $5^x = \frac{5}{x}$;

Уравнение имеет решения при $x > 0$;
Функция $y = 5^x$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Функция $y = \frac{5}{x}$ убывает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 5^1 = 5$;
$y_2(1) = \frac{5}{1} = 5$;
Ответ: 1.

г) $\left(\frac{1}{8}\right)^x = -\frac{8}{x}$;

Уравнение имеет решения при $x < 0$;
Функция $y = \left(\frac{1}{8}\right)^x$ убывает на $(-\infty; 0)$;
Функция $y = -\frac{8}{x}$ возрастает на $(-\infty; 0)$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(-1) = \left(\frac{1}{8}\right)^{-1} = 8$;
$y_2(-1) = -\frac{8}{-1} = 8$;
Ответ: -1.

а) $2^x = \dfrac{2}{x}$

1. Область определения (ОДЗ):

• Правая часть: $\dfrac{2}{x}$ определена при $x \ne 0$
• Левая часть: $2^x$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$

Дополнительно, обратим внимание: обе функции положительны только при $x > 0$

Следовательно:

$$\text{ОДЗ: } x > 0$$

2. Анализ функций:

• Левая часть: $y_1 = 2^x$
  Это показательная функция с основанием $2 > 1$, она строго возрастает на $(0; +\infty)$
• Правая часть: $y_2 = \dfrac{2}{x}$
  Это гипербола, ветвь на интервале $(0; +\infty)$ строго убывает

3. Решение методом подбора:

Проверим значение при $x = 1$:

• $y_1(1) = 2^1 = 2$
• $y_2(1) = \dfrac{2}{1} = 2$

Равенство выполняется. Это точка пересечения.

Дополнительно:

• Для $x < 1$, $2^x < 2$, а $\dfrac{2}{x} > 2$
• Для $x > 1$, $2^x > 2$, а $\dfrac{2}{x} < 2$

Следовательно, пересечение только в одной точке.

Ответ:

$$x = 1$$

б) $\left(\dfrac{1}{4}\right)^x = -\dfrac{4}{x}$

1. Область определения:

• Правая часть: определена при $x \ne 0$
• Левая часть: определена при всех $x$

Учитываем также, что правая часть отрицательна, а левая всегда положительна при $x > 0$

Следовательно, решение возможно только при $x < 0$

ОДЗ:

$$x < 0$$

2. Анализ функций:

• Левая часть: $y_1 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x = 4^{-x}$
  Показательная функция с основанием $\dfrac{1}{4} < 1$, значит возрастает на $(-\infty; 0)$
• Правая часть: $y_2 = -\dfrac{4}{x}$
  Это функция гиперболического типа, возрастает на $(-\infty; 0)$

3. Решение методом подбора:

Проверим значение при $x = -1$:

• $y_1(-1) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} = 4$
• $y_2(-1) = -\dfrac{4}{-1} = 4$

Равенство выполняется.

Проверим поведение по обе стороны от точки:

• При $x < -1$, левая часть $y_1$ меньше, правая часть тоже меньше
• При $x > -1$, левая часть больше, правая часть тоже больше

Функции пересекаются только в одной точке.

Ответ:

$$x = -1$$

в) $5^x = \dfrac{5}{x}$

1. Область определения:

• Правая часть определена при $x \ne 0$
• Левая часть определена при всех $x$

Также учитываем, что обе стороны положительные только при $x > 0$

ОДЗ:

$$x > 0$$

2. Анализ функций:

• Левая часть: $y_1 = 5^x$
  Показательная функция, возрастает на $(0; +\infty)$
• Правая часть: $y_2 = \dfrac{5}{x}$
  Убывает на $(0; +\infty)$

3. Решение методом подбора:

Проверим $x = 1$:

• $y_1(1) = 5$,
• $y_2(1) = \dfrac{5}{1} = 5$

Равенство выполняется.

Поведение функций по обе стороны от этой точки:

• При $x < 1$, $y_1 < 5$, $y_2 > 5$
• При $x > 1$, $y_1 > 5$, $y_2 < 5$

Функции пересекаются в одной точке.

Ответ:

$$x = 1$$

г) $\left(\dfrac{1}{8}\right)^x = -\dfrac{8}{x}$

1. Область определения:

• Правая часть: определена при $x \ne 0$
• Левая часть: определена при всех $x$

Так как правая часть положительна только при $x < 0$, а левая положительна на всей числовой прямой, то возможно пересечение только при $x < 0$

ОДЗ:

$$x<0$$

2. Анализ функций:

• Левая часть: $y_1 = \left(\dfrac{1}{8}\right)^x = 8^{-x}$
  Убывающая функция с основанием $\dfrac{1}{8} < 1$, значит возрастает на $(-\infty; 0)$
• Правая часть: $y_2 = -\dfrac{8}{x}$
  При $x < 0$, эта функция положительна, и она возрастает на $(-\infty; 0)$

3. Решение методом подбора:

Проверим $x = -1$:

• $y_1(-1) = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-1} = 8$
• $y_2(-1) = -\dfrac{8}{-1} = 8$

Равенство выполняется.

Поведение функций указывает, что они пересекаются в одной точке.

Ответ:

$$x = -1$$

Итоговые ответы:

а) $x = 1$
б) $x = -1$
в) $x = 1$
г) $x=-1$