ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.46 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $3^x \geq 4 — x$;

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq x + 3$;

в) $5^x < 6 — x$;

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^x > x + 8$

Решить неравенство:

а) $3^x \geq 4 — x$;
Функция $y = 3^x$ возрастает на $\mathbb{R}$;
Функция $y = 4 — x$ убывает на $\mathbb{R}$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 3^1 = 3$;
$y_2(1) = 4 — 1 = 3$;
Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq x + 3$;
Функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ убывает на $\mathbb{R}$;
Функция $y = x + 3$ возрастает на $\mathbb{R}$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(-1) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$;
$y_2(-1) = -1 + 3 = 2$;
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

в) $5^x < 6 — x$;
Функция $y = 5^x$ возрастает на $\mathbb{R}$;
Функция $y = 6 — x$ убывает на $\mathbb{R}$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 5^1 = 5$;
$y_2(1) = 6 — 1 = 5$;
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^x > x + 8$;
Функция $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x$ убывает на $\mathbb{R}$;
Функция $y = x + 8$ возрастает на $\mathbb{R}$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(-1) = \left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = 7$;
$y_2(-1) = -1 + 8 = 7$;
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

а) $3^x \geq 4 — x$

1. Область определения (ОДЗ):

• Левая часть: $3^x$ — определена при всех $x \in \mathbb{R}$
• Правая часть: $4 — x$ — определена при всех $x \in \mathbb{R}$

Следовательно:

$$\text{ОДЗ: } x \in \mathbb{R}$$

2. Поведение функций:

• $y_1 = 3^x$ — показательная функция с основанием $3 > 1$, строго возрастает на всей числовой прямой.
• $y_2 = 4 — x$ — линейная функция, коэффициент при $x$ отрицательный, поэтому функция строго убывает.

3. Поиск точки пересечения:

Решим уравнение:

$$3^x = 4 — x$$

Подставим $x = 1$:

• $3^1 = 3$
• $4 — 1 = 3$

Равенство выполняется при $x = 1$

4. Сравнение значений до и после точки пересечения:

• При $x < 1$:
  $3^x < 4 — x$ (поскольку одна функция растёт, а другая убывает)
• При $x > 1$:
  $3^x > 4 — x$

Следовательно:

$$3^x \geq 4 — x \quad \text{выполняется при} \quad x \geq 1$$

Ответ:

$$x \in [1; +\infty)$$

б) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \leq x + 3$

1. Область определения:

• Левая часть: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$
• Правая часть: $x + 3$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$

Следовательно:

$$\text{ОДЗ: } x \in \mathbb{R}$$

2. Поведение функций:

• $y_1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$
  Основание меньше 1 → функция убывает на всей числовой прямой
• $y_2 = x + 3$
  Линейная функция с положительным коэффициентом → возрастает

3. Поиск точки пересечения:

Решим уравнение:

$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x = x + 3$$

Проверим при $x = -1$:

• Левая часть: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} = 2$
• Правая часть: $-1 + 3 = 2$

Равенство выполняется при $x = -1$

4. Сравнение значений:

• При $x < -1$:
  $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x > x + 3$
• При $x > -1$:
  $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x < x + 3$

Следовательно:

$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \leq x + 3 \quad \text{выполняется при} \quad x \geq -1$$

Ответ:

$$x \in [-1; +\infty)$$

в) $5^x < 6 — x$

1. Область определения:

• Левая часть: $5^x$ — определена при всех $x \in \mathbb{R}$
• Правая часть: $6 — x$ — определена при всех $x \in \mathbb{R}$

ОДЗ:

$$x \in \mathbb{R}$$

2. Поведение функций:

• $y_1 = 5^x$ — показательная функция с основанием $5 > 1$ → возрастает
• $y_2 = 6 — x$ — линейная функция с отрицательным коэффициентом → убывает

3. Поиск точки пересечения:

Решим уравнение:

$$5^x = 6 — x$$

Проверим при $x = 1$:

• Левая часть: $5^1 = 5$
• Правая часть: $6 — 1 = 5$

Равенство выполняется при $x = 1$

4. Сравнение значений:

• При $x < 1$:
  $5^x < 6 — x$
• При $x > 1$:
  $5^x > 6 — x$

Следовательно:

$$5^x < 6 — x \quad \text{выполняется при} \quad x < 1$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; 1)$$

г) $\left(\dfrac{1}{7}\right)^x > x + 8$

1. Область определения:

• Левая часть: определена при всех $x \in \mathbb{R}$
• Правая часть: определена при всех $x \in \mathbb{R}$

ОДЗ:

$$x \in \mathbb{R}$$

2. Поведение функций:

• $y_1 = \left(\dfrac{1}{7}\right)^x$ — показательная функция с основанием меньше 1, значит она убывает
• $y_2 = x + 8$ — линейная, с положительным коэффициентом, возрастает

3. Поиск точки пересечения:

Проверим при $x = -1$:

• Левая часть: $\left(\dfrac{1}{7}\right)^{-1} = 7$
• Правая часть: $-1 + 8 = 7$

Равенство выполняется при $x = -1$

4. Сравнение значений:

• При $x < -1$:
  Левая часть больше, правая — меньше
  Следовательно: $\left(\dfrac{1}{7}\right)^x > x + 8$
• При $x > -1$:
  Левая часть меньше, правая — больше
  Следовательно: $\left(\dfrac{1}{7}\right)^x < x + 8$

Неравенство выполняется при $x < -1$

Ответ:

$$x \in (-\infty; -1)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in [1; +\infty)$
б) $x \in [-1; +\infty)$
в) $x \in (-\infty; 1)$
г) $x\in (-\mathrm{\infty };-1)$