ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.48 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^x + 1 \geq \cos x$;

б) $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x$;

в) $\left( \dfrac{1}{3} \right)^x + 1 < \sin x$;

г) $3^{|x|} \leq \cos 2x$

Решить неравенство:

а) $2^x + 1 \geq \cos x$;

Множество значений левой части:
$2^x > 0$;
$2^x + 1 > 1$;

Множество значений правой части:
$-1 \leq \cos x \leq 1$;

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x$;

Множество значений левой части:
$|x| \geq 0$;
$2^{|x|} \geq 2^0$;
$2^{|x|} \geq 1$;
$2^{|x|} + 1 \geq 2$;

Множество значений правой части:
$-1 \leq \cos x \leq 1$;
$-2 \leq 2 \cos x \leq 2$;

Равенство выполняется при:
$x = 0$;

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) $\left( \dfrac{1}{3} \right)^x + 1 < \sin x$;

Множество значений левой части:
$\left( \dfrac{1}{3} \right)^x > 0$;
$\left( \dfrac{1}{3} \right)^x + 1 > 1$;

Множество значений правой части:
$-1 \leq \sin x \leq 1$;

Ответ: $x \in \varnothing$.

г) $3^{|x|} \leq \cos 2x$;

Множество значений левой части:
$|x| \geq 0$;
$3^{|x|} \geq 3^0$;
$3^{|x|} \geq 1$;

Множество значений правой части:
$-1 \leq \cos 2x \leq 1$;

Равенство выполняется при:
$x = 0$;

Ответ: $x = 0$.

а) $2^x + 1 \geq \cos x$

1. Область определения:

• $2^x$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$
• $\cos x$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$

ОДЗ:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$

2. Исследуем левую часть: $2^x + 1$

• $2^x > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$
• Следовательно, $2^x + 1 > 1$

3. Исследуем правую часть: $\cos x$

• Функция $\cos x$ колеблется в пределах:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

4. Сравнение значений:

• Левая часть: $2^x + 1 > 1$
• Правая часть: $\cos x \leq 1$

Следовательно:

$$2^x + 1 > \cos x \quad \text{всегда, за исключением возможных точек равенства.}$$

• Возможна точка равенства только если $2^x + 1 = \cos x$. Но так как $2^x + 1 > 1$, а $\cos x \leq 1$, такое равенство невозможно.

Значит, неравенство выполняется строго и всегда:

$$2^x + 1 > \cos x$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$

б) $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x$

1. Область определения:

• $2^{|x|}$ определена при всех $x$
• $\cos x$ определена при всех $x$

ОДЗ:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$

2. Исследуем левую часть:

• Поскольку $|x| \geq 0$, то $2^{|x|} \geq 2^0 = 1$
• Следовательно:

$$2^{|x|} + 1 \geq 2$$

3. Исследуем правую часть:

• $\cos x \in [-1, 1]$, значит:

$$2 \cos x \in [-2, 2]$$

4. Сравнение функций:

• Минимальное значение левой части: $2$
• Максимальное значение правой части: $2$

Возможна точка равенства:

• Проверим $x = 0$:
  $2^{|0|} + 1 = 2$
  $2 \cos 0 = 2$

→ Равенство при $x = 0$

5. Ищем, где строгое неравенство выполняется:

• При $x \ne 0$:
  $|x| > 0 \Rightarrow 2^{|x|} > 1 \Rightarrow 2^{|x|} + 1 > 2$

А $2 \cos x \leq 2$, значит:

$$2^{|x|} + 1 > 2 \cos x \quad \text{при } x \ne 0$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

в) $\left( \dfrac{1}{3} \right)^x + 1 < \sin x$

1. Область определения:

• Обе функции определены при всех $x \in \mathbb{R}$

ОДЗ:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$

2. Исследуем левую часть:

• $\left( \dfrac{1}{3} \right)^x > 0$ при любом $x$
• Следовательно:

$$\left( \dfrac{1}{3} \right)^x + 1 > 1$$

3. Исследуем правую часть:

• $\sin x \in [-1, 1]$

4. Сравнение:

• Левая часть $> 1$
• Правая часть $\leq 1$

Значит:

$$\left( \dfrac{1}{3} \right)^x + 1 > \sin x \quad \text{всегда}$$

→ Следовательно:

$$\left( \dfrac{1}{3} \right)^x + 1 < \sin x \quad \text{никогда не выполняется}$$

Ответ:

$$x \in \varnothing$$

г) $3^{|x|} \leq \cos 2x$

1. Область определения:

• $3^{|x|}$ определена при всех $x$
• $\cos 2x$ определена при всех $x$

ОДЗ:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$

2. Исследуем левую часть:

• $|x| \geq 0$
• $3^{|x|} \geq 3^0 = 1$

3. Исследуем правую часть:

• $\cos 2x \in [-1, 1]$

4. Сравнение:

• Левая часть $\geq 1$
• Правая часть $\leq 1$

Равенство возможно только если:

$$3^{|x|} = 1 \Rightarrow |x| = 0 \Rightarrow x = 0$$

• При $x = 0$:
  $3^{|0|} = 1$,
  $\cos 0 = 1$

→ Равенство выполняется

5. При $x \ne 0$:

• $|x| > 0 \Rightarrow 3^{|x|} > 1$
• $\cos 2x \leq 1$
  → $3^{|x|} > \cos 2x$

Значит:

$$3^{|x|} \leq \cos 2x \quad \text{только при } x = 0$$

Ответ:

$$x = 0$$

Итоговые ответы:

а) $x \in (-\infty; +\infty)$
б) $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$
в) $x \in \varnothing$
г) $x = 0$