ГДЗ 10-11 Класс Номер 39.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение аргумента х, при котором функция $y = 2^x$ принимает заданное значение:

а) $$$16$

б) ${\mathrm{}}^{}$$8\sqrt{2}$

в) ${\mathrm{}}^{}$${\mathrm{}}^{}\frac{1}{\sqrt{2}}$

г) $\frac{1}{32\sqrt{2}}$

Найти значение аргумента $x$, при котором функция $y = 2^x$ принимает заданное значение:

а) $$$2^x = 16 = 2^4$;
Ответ: 4.

б) ${\mathrm{}}^{}$$2^x = 8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^3 \cdot 2^{0.5} = 2^{3.5}$;
Ответ: 3,5.

в) ${\mathrm{}}^{}$$2^x = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-\frac{1}{2}} = 2^{-0.5}$;
Ответ: -0,5.

г) $$$2^x = \frac{1}{32\sqrt{2}} = 2^{-5} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} = 2^{-5} \cdot 2^{-0.5} = 2^{-5.5}$;
Ответ: -5,5.

а) $2^x = 16$

Шаг 1. Представим правую часть как степень двойки.

$$16 = 2^4$$

Шаг 2. Теперь у нас:

$$2^x = 2^4$$

Шаг 3. Так как основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$x = 4$$

Ответ: 4.

б) $2^x = 8\sqrt{2}$

Шаг 1. Разложим число $8$ как степень двойки:

$$8 = 2^3$$

Шаг 2. Представим $\sqrt{2}$ как степень двойки:

$$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0.5}$$

Шаг 3. Перепишем произведение:

$$8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{0.5}$$

Шаг 4. Умножение степеней с одинаковым основанием:

$$2^3 \cdot 2^{0.5} = 2^{3 + 0.5} = 2^{3.5}$$

Шаг 5. Приравниваем показатели степеней:

$$2^x = 2^{3.5} \Rightarrow x = 3.5$$

Ответ: 3,5.

в) $2^x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Шаг 1. Запишем $\sqrt{2}$ в виде степени:

$$\sqrt{2} = 2^{0.5}$$

Шаг 2. Обратное значение:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{0.5}} = 2^{-0.5}$$

Шаг 3. Теперь у нас:

$$2^x = 2^{-0.5}$$

Шаг 4. Приравниваем показатели:

$$x = -0.5$$

Ответ: -0,5.

г) $2^x = \frac{1}{32\sqrt{2}}$

Шаг 1. Разложим $32$ как степень двойки:

$$32 = 2^5$$

Шаг 2. Также:

$$\sqrt{2} = 2^{0.5}$$

Шаг 3. Тогда:

$$32\sqrt{2} = 2^5 \cdot 2^{0.5} = 2^{5.5}$$

Шаг 4. Обратное значение:

$$\frac{1}{32\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{5.5}} = 2^{-5.5}$$

Шаг 5. Уравнение становится:

$$2^x = 2^{-5.5}$$

Шаг 6. Приравниваем показатели:

$$x = -5.5$$

Ответ: -5,5.