ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — первая, ВС — вторая, CD — третья, DA — четвёртая (рис. 2). Опираясь на эту геометрическую модель, решите следующие задачи.

Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: AM , ВК , МР, DC, АГА, ВР, СВ, ВС?

Вторая четверть разделена пополам точкой $M$, а третья четверть разделена на три равные части точками $K$ и $P$.

Найдем длину дуги:

$$AM=AB+BM=\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};$$

$$AM = AB + BM = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4};$$ $$BK=BC+CK=\frac{\pi }{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{4\pi }{6}=\frac{2\pi }{3};$$

$$BK = BC + CK = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3};$$ $$MP=MC+CP=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{12};$$

$$MP = MC + CP = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12};$$ $$DC=DA+AB+BC=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2};$$

$$DC = DA + AB + BC = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2};$$ $$KA=KD+DA=\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6};$$

$$KA = KD + DA = \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6};$$ $$BP=BC+CP=\frac{\pi }{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6};$$

$$BP = BC + CP = \frac{\pi}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6};$$ $$CB=CD+DA+AB=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2};$$

$$CB = CD + DA + AB = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2};$$ $$BC = \frac{\pi}{2}.$$

Для решения задачи будем использовать геометрическую модель с единичной окружностью и помнить, что длина дуги окружности определяется как $l = r \cdot \theta$, где $r$ — радиус окружности, а $\theta$ — центральный угол, который соответствует этой дуге.

Так как у нас единичная окружность, радиус $r = 1$. Следовательно, длина дуги будет численно равна центральному углу этой дуги в радианах.

Шаг 1: Разбиение окружности на четверти

• Единичная окружность разделена диаметрами $CA$ и $DB$ на 4 четверти.
• Первая четверть — это дуга $AB$ (между точками $A$ и $B$).
• Вторая четверть — это дуга $BC$ (между точками $B$ и $C$).
• Третья четверть — это дуга $CD$ (между точками $C$ и $D$).
• Четвертая четверть — это дуга $DA$ (между точками $D$ и $A$).

Шаг 2: Центральные углы для каждой четверти

Единичная окружность составляет полный круг, и его центральный угол равен $2\pi$ радиан. Поскольку окружность разделена на 4 равные части, центральный угол для каждой четверти будет равен:

$$\text{Центральный угол для каждой четверти} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Таким образом, длина каждой четверти будет равна $\frac{\pi}{2}$.

Теперь перейдем к решению каждой задачи по порядку.

1. Длина дуги $AM$

• Точка $M$ делит вторую четверть пополам, то есть она делит дугу $BC$ на две равные части.
• Так как длина дуги $BC$ равна $\frac{\pi}{2}$, то длина дуги $BM$ будет:

  $$AM = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

2. Длина дуги $BK$

• Точка $K$ делит третью четверть на три равные части.
• Длина дуги $BC$ составляет $\frac{\pi}{2}$, и точка $K$ делит её на три равные части, то есть длина дуги $BK$ будет:

  $$BK = BC + CK = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$

3. Длина дуги $MP$

• Точка $P$ делит третью четверть на три равные части, так что длина дуги $MP$ будет составлять сумму двух частей дуги:

  $$MP = MC + CP = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12}$$

4. Длина дуги $DC$

• Дуга $DC$ состоит из трёх частей:
  • $DA$ — четверть окружности, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $AB$ — также четверть окружности, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $BC$ — ещё одна четверть окружности, равная $\frac{\pi}{2}$.

  Таким образом, длина дуги $DC$ будет:

  $$DC = DA + AB + BC = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$$

5. Длина дуги $KA$

• Дуга $KA$ состоит из двух частей:
  • $KD$ — одна треть третьей четверти, то есть её длина равна $\frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}$,
  • $DA$ — четверть окружности, равная $\frac{\pi}{2}$.

  Таким образом, длина дуги $KA$ будет:

  $$KA = KD + DA = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$$

6. Длина дуги $BP$

• Дуга $BP$ состоит из двух частей:
  • $BC$ — это четверть окружности, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $CP$ — две трети третьей четверти, равная $\frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}$.

  Таким образом, длина дуги $BP$ будет:

  $$BP = BC + CP = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$$

7. Длина дуги $CB$

• Дуга $CB$ — это половина окружности, так как она проходит через диаметр $DB$. Следовательно, длина дуги $CB$ будет:

  $$CB = \frac{\pi}{2}$$

8. Длина дуги $BC$

• Дуга $BC$ также составляет одну четверть окружности, поэтому её длина равна:

  $$BC = \frac{\pi}{2}$$

Ответы:

• $AM = \frac{3\pi}{4}$
• $BK = \frac{2\pi}{3}$
• $MP = \frac{7\pi}{12}$
• $DC = \frac{3\pi}{2}$
• $KA = \frac{5\pi}{6}$
• $BP = \frac{5\pi}{6}$
• $CB = \frac{\pi}{2}$
• $BC = \frac{\pi}{2}$