ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:

a) $-\frac{\pi }{2}$

б) $-\frac{2\pi }{3}$

в) $-2\pi$

г) $-\frac{3\pi }{4}$

Изобразим окружность с основными точками:

a) $-\frac{\pi }{2}=2\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$;
Ответ: $D=D(-\frac{\pi }{2})$.

б) $-\frac{2\pi }{3}=2\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$;
Разделим $CD$ на три равные части:

$AN=AC+CN=\pi +\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$;

Ответ: $N=N(-\frac{2\pi }{3})$.

в) $-2\pi =2\pi -2\pi =0$;
Ответ: $A=A(-2\pi )$.

г) $-\frac{3\pi }{4}=2\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}$;
Разделим $CD$ на две равные части:

$AP=AC+CP=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$;

Ответ: $P=P(-\frac{3\pi }{4})$.

Углы на тригонометрической окружности (единичной окружности) отсчитываются по часовой стрелке, если угол отрицательный, и против часовой стрелки, если угол положительный.

Один полный оборот по окружности = $2\pi$ радиан.

Углы на окружности можно приводить к эквивалентным положительным углам в пределах от $0$ до $2\pi$, прибавляя к ним $2\pi$, $4\pi$, и т. д. (или используя формулу $2\pi -\mathrm{\mid }\text{угол}\mathrm{\mid }$ для одного оборота).

а) $-\frac{\pi }{2}$

Это отрицательный угол, значит движение по окружности идет по часовой стрелке.

Чтобы найти эквивалентный положительный угол, нужно прибавить полный оборот:

$$-\frac{\pi }{2}+2\pi =\frac{3\pi }{2}$$

Угол $\frac{3\pi }{2}$ — это точка D на тригонометрической окружности. Она находится внизу (на отрицательной вертикальной оси), т.е. соответствует углу ${270}^{\circ }$.

Ответ:

$$D=D(-\frac{\pi }{2})$$

б) $-\frac{2\pi }{3}$

Это отрицательный угол, движемся по часовой стрелке.

Прибавим $2\pi$ (полный оборот), чтобы перейти к положительному эквиваленту:

$$-\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}$$

Угол $\frac{4\pi }{3}$ находится в третьей четверти.

Заметим:

$$\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$$

Это значит, что мы сначала прошли $\pi$ (до точки C), затем ещё $\frac{\pi }{3}$ по направлению к D.

Отрезок $CD$ — дуга от $\pi$ до $\frac{3\pi }{2}$, т.е. $\frac{\pi }{2}$.

Разделим дугу $CD$ на 3 равные части, каждая будет:

$$\frac{\pi }{2}:3=\frac{\pi }{6}$$

Тогда:

• После точки $C$ проходим две таких части:$$2\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$$
• Значит, точка будет на дуге CD, на расстоянии $\frac{\pi }{3}$ от $\pi$:$$\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$$
• Это точка N.

Ответ:

$$N=N(-\frac{2\pi }{3})$$

в) $-2\pi$

Это угол, равный двум полным оборотам по часовой стрелке.

Так как один оборот — $2\pi$, то:

$$-2\pi +2\pi =0$$

Угол $0$ соответствует начальной точке — точке A, на правом конце горизонтального диаметра.

Ответ:

$$A=A(-2\pi )$$

г) $-\frac{3\pi }{4}$

Это отрицательный угол, движемся по часовой стрелке.

Прибавим $2\pi$:

$$-\frac{3\pi }{4}+2\pi =\frac{5\pi }{4}$$

Угол $\frac{5\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}$ — значит, точка находится в третьей четверти.

После точки $C$ (где $\pi$), проходим $\frac{\pi }{4}$ по направлению к $D$.

Дуга $CD$ равна $\frac{\pi }{2}$, если разделим её на 2 равные части, получим:

$$\frac{\pi }{2}:2=\frac{\pi }{4}$$

Значит, после точки $C$ проходим $\frac{\pi }{4}$, попадаем в точку $P$.

Тогда:

$$\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}\Rightarrow P=\frac{5\pi }{4}$$

Ответ:

$$P=P(-\frac{3\pi }{4})$$