ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Что вы можете сказать о взаимном расположении точек, соответствующих заданным числам, на координатной прямой и на числовой окружности:

а) $t$ и $-t$;

б) $t$ и $t + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$;

в) $t$ и $t + \pi$;

г) $t + \pi$ и $t — \pi$

Как расположены на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам:

а) $t$ и $-t$;

На числовой прямой:

• Точки симметричны относительно точки $O$;

На числовой окружности:

• Точки симметричны относительно прямой $AB$;

б) $t$ и $t + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$;

На числовой прямой:

• Точки удалены друг от друга на расстояние $2\pi k$;

На числовой окружности:

• Точки совпадают;

в) $t$ и $t + \pi$;
$(t + \pi) — t = \pi;$

На числовой прямой:

• Точки удалены друг от друга на расстояние $\pi$;

На числовой окружности:

• Точки расположены на разных концах одного диаметра;
• Точки симметричны относительно точки $O$;

г) $t + \pi$ и $t — \pi$;
$(t + \pi) — (t — \pi) = 2\pi;$

На числовой прямой:

• Точки удалены друг от друга на расстояние $2\pi$;

На числовой окружности:

• Точки совпадают.

Как расположены на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам:

а) $t$ и $-t$

1) На числовой прямой:

• Числовая прямая — это бесконечная линия, на которой каждой точке соответствует действительное число. Начальная точка отсчёта обозначается $O$, соответствует числу 0.
• Если на прямой отложить точку, соответствующую числу $t$, то она будет расположена на расстоянии $|t|$ от нуля, вправо (если $t > 0$) или влево (если $t < 0$).
• Число $-t$ — это противоположное число к $t$, оно находится на том же расстоянии от начала отсчёта, но в противоположном направлении.
• Следовательно, точки $t$ и $-t$ симметричны относительно начала координат (точки $O$).

Ответ:

• На числовой прямой:
  Точки $t$ и $-t$ симметричны относительно точки $O$.

2) На числовой окружности:

• Числовая окружность — это модель, на которую числа наносятся по кругу (как часы), и отсчёт обычно начинается с точки $A$, соответствующей нулю (0), и идёт против часовой стрелки.
• Противоположные по значению числа на окружности расположены на концах диаметра.
• $t$ — это некоторая дуга от $A$ против часовой стрелки, $-t$ — такая же по длине дуга, но по часовой стрелке.
• Следовательно, точки $t$ и $-t$ симметричны относительно прямой $AB$, проходящей через центр окружности и через начальную точку отсчёта.

Ответ:

• На числовой окружности:
  Точки $t$ и $-t$ симметричны относительно прямой $AB$.

б) $t$ и $t + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

1) На числовой прямой:

• $2\pi k$ — это некоторое кратное полного круга (т.к. длина окружности — $2\pi$).
• Число $t + 2\pi k$ означает, что мы от точки $t$ двигаемся вправо (если $k > 0$) или влево (если $k < 0$) на расстояние $2\pi |k|$.
• Таким образом, точки $t$ и $t + 2\pi k$ на прямой находятся на расстоянии $2\pi k$ друг от друга.

Ответ:

• На числовой прямой:
  Точки удалены друг от друга на расстояние $2\pi k$.

2) На числовой окружности:

• Поскольку длина окружности — $2\pi$, добавление к $t$ любого целого количества полных оборотов (то есть $2\pi k$) не изменяет положение точки на окружности.
• Иными словами, $t$ и $t + 2\pi k$ попадают в одну и ту же точку окружности.

Ответ:

• На числовой окружности:
  Точки совпадают.

в) $t$ и $t + \pi$

$$(t + \pi) — t = \pi$$

1) На числовой прямой:

• Между числами $t$ и $t + \pi$ разность равна $\pi$.
• Это означает, что точка $t + \pi$ расположена на прямой на расстоянии $\pi$ вправо от точки $t$.

Ответ:

• На числовой прямой:
  Точки удалены друг от друга на расстояние $\pi$.

2) На числовой окружности:

• $\pi$ — это половина полного оборота (так как полный — $2\pi$).
• Поэтому, если от точки $t$ отложить дугу длиной $\pi$, мы окажемся на противоположной точке окружности (то есть на другом конце диаметра).
• Таким образом, $t$ и $t + \pi$ лежат на концах одного диаметра.
• Такие точки также симметричны относительно центра окружности (точки $O$).

Ответ:

• На числовой окружности:
  Точки расположены на разных концах одного диаметра;
  Точки симметричны относительно точки $O$.

г) $t + \pi$ и $t — \pi$

$$(t + \pi) — (t — \pi) = 2\pi$$

1) На числовой прямой:

• Разность между этими двумя числами равна $2\pi$.
• Это означает, что точки расположены на прямой на расстоянии $2\pi$ друг от друга.

Ответ:

• На числовой прямой:
  Точки удалены друг от друга на расстояние $2\pi$.

2) На числовой окружности:

• При переходе от $t — \pi$ к $t + \pi$ мы совершаем полный оборот по окружности, поскольку $2\pi$ — это длина окружности.
• Поэтому обе точки попадают в одно и то же место на окружности.

Ответ:

• На числовой окружности:
  Точки совпадают.