ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Запишите все числа, которым соответствует на числовой окружности точка:

а) $M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right)$;

б) $M_2(5)$;

в) $M_3 \left( \frac{3\pi}{4} \right)$;

г) $M_4(-3)$

Записать все числа, которым соответствует на числовой окружности точка:

а) $M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right)$;
Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

б) $M_2(5)$;
Ответ: $5 + 2\pi k$.

в) $M_3 \left( \frac{3\pi}{4} \right)$;
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

г) $M_4(-3)$;
Ответ: $-3 + 2\pi k$.

На числовой окружности каждой точке соответствует бесконечно много чисел, отличающихся на целое число оборотов вокруг окружности.
Один полный оборот по числовой окружности — это длина окружности $2\pi$.
Следовательно, если точке соответствует число $x$, то все числа, которые соответствуют той же точке на окружности, имеют вид:

$$x + 2\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}$$

Здесь:

• $x$ — исходное значение, соответствующее точке;
• $2\pi$ — длина одного полного оборота;
• $k$ — целое число (все возможные целые: положительные, ноль, отрицательные).

а) $M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right)$

1. Дана точка на окружности, соответствующая числу $\frac{\pi}{4}$.
2. Чтобы найти все такие числа, которые приводят в ту же точку на окружности:

   $$\text{Общее выражение: } \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

3. Это и есть все числа, соответствующие точке $M_1$.

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}$$

б) $M_2(5)$

1. Дана точка на окружности, соответствующая числу $5$.
2. По тому же правилу:

   $$5 + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

3. Это все значения, при которых мы попадаем в ту же точку на числовой окружности, что и при $5$.

Ответ:

$$\boxed{5 + 2\pi k}$$

в) $M_3 \left( \frac{3\pi}{4} \right)$

1. Дано: точка соответствует значению $\frac{3\pi}{4}$.
2. Аналогично:

   $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}$$

г) $M_4(-3)$

1. Точка на окружности соответствует числу $-3$.
2. Применяем правило:

   $$-3 + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{-3 + 2\pi k}$$

Итог:

Во всех случаях общее правило одно:

Все числа, соответствующие одной и той же точке на числовой окружности, отличаются на целое число полных оборотов $2\pi$.

Поэтому каждый ответ — это данное число + $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.