ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (рис. 2):

а) А;

б) С;

в) А и С.

Записать одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки:

а) $A$;
Ответ: $2\pi k$.

б) $C$;
Ответ: $\pi + 2\pi k$.

в) $A$ и $C$;
Ответ: $\pi k$.

Общие сведения: числовая окружность

Числовая окружность — это единичная окружность, по которой откладываются углы в радианах.

• Начало отсчёта — точка $A$, соответствующая углу $0$ радиан.
• При движении против часовой стрелки (положительное направление), откладываются положительные углы.
• При движении по часовой стрелке (отрицательное направление) — отрицательные.
• Полный оборот по окружности — это $2\pi$ радиан.

Обозначим:

• $k \in \mathbb{Z}$ — целое число (обозначает любое количество полных оборотов вокруг окружности).
• Цель — найти все возможные углы, соответствующие заданной точке, с учётом того, что точка может быть достигнута после любого количества оборотов (вперед или назад).

а) Точка A

Анализ:

• По определению числовой окружности, точка $A$ — это начало отсчёта, то есть точка, соответствующая углу $0$ радиан.
• Если сделать полный оборот по окружности, то снова попадём в точку $A$.
  Полный оборот: $2\pi$ радиан.
• Значит, все числа, соответствующие точке $A$, имеют вид:

  $$0 + 2\pi k = 2\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{2\pi k}$$

б) Точка C

Анализ:

• Точка $C$ находится напротив точки $A$ на числовой окружности.
• Это означает, что точка $C$ получается, если из $A$ отложить пол-оборота, т.е. угол $\pi$ радиан.
• Чтобы попасть снова в эту точку после одного или нескольких оборотов, нужно прибавить $2\pi k$.

$$\pi + 2\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{\pi + 2\pi k}$$

в) Точки A и C

Анализ:

• Нужно найти одну формулу, которая описывает все углы, соответствующие точкам $A$ и $C$ одновременно.
• То есть: нужно объединить множества:
  1. $\{2\pi k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ — углы, соответствующие $A$
  2. $\{\pi + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z} \}$ — углы, соответствующие $C$

Шаги:

1. Объединение этих множеств даст:

   $$\{ 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi, \dots \} \quad \text{и т.д. с любыми знаками}$$

2. Видно, что общее множество — это все целые кратные $\pi$:

   $$\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{\pi k}$$