ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Запишите одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки (см. рис. 2):

а) В;

б) D;

в) В и D.

Записать одной формулой все числа, которым соответствуют на числовой окружности заданные точки:

а) $B$;
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

б) $D$;
Ответ: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

в) $B$ и $D$;
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k$.

Что такое числовая (тригонометрическая) окружность?

Это единичная окружность с центром в начале координат, на которой откладываются углы (в радианах).

• Один полный оборот — это $2\pi$ радиан.
• Начало отсчёта — положительное направление оси $Ox$, то есть угол $0$ радиан.

Каждой точке на окружности соответствует бесконечно много чисел, потому что можно сделать много полных оборотов вокруг окружности. Например, точке $A$, соответствующей углу $0$, соответствуют числа:

$$0 + 2\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}$$

а) Точка $B$

Что это за точка?

На числовой окружности точка $B$ — это верхняя точка, соответствующая углу:

$$\frac{\pi}{2}$$

Но это не единственное значение! После одного полного круга (добавим $2\pi$), снова вернёмся в ту же точку:

• $\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$
• $\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$
• и т. д.

То есть все такие углы можно записать как:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}$$

б) Точка $D$

Что это за точка?

На числовой окружности точка $D$ — это нижняя точка, соответствующая углу:

$$\frac{3\pi}{2}$$

Аналогично, после полного оборота снова попадаем в ту же точку:

• $\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{2}$
• $\frac{3\pi}{2} + 4\pi = \frac{11\pi}{2}$
• и т. д.

Общая формула:

$$\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}$$

в) Точки $B$ и $D$

Теперь нужно найти одну формулу, которая описывает все числа, соответствующие и точке $B$, и точке $D$.

Анализ:

Мы знаем:

• Точка $B$: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$
• Точка $D$: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Посмотрим, как можно объединить эти два множества в одну формулу.

Шаг 1. Посмотрим на разность между углами:

$$\frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = \pi$$

Значит, если мы начнём с $\frac{\pi}{2}$, и будем прибавлять $\pi$, то будем чередовать:

• $\frac{\pi}{2}$ → точка $B$
• $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$ → точка $D$
• $\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$ → снова $B$
• и т. д.

То есть:

$$\frac{\pi}{2} + \pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}$$

Это формула, которая описывает обе точки (и $B$, и $D$) — при чётных $k$ получаем $B$, при нечётных — $D$.

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi k}$$

ИТОГОВЫЕ ОТВЕТЫ:

а) $\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}$

б) $\boxed{\frac{3\pi}{2} + 2\pi k}$

в) $\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi k}$

где $k \in \mathbb{Z}$