ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу:

а) 5;

б) -5;

в) 8;

г) -8.

Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу:

а) 5;

3,1 < π < 3,2;
6,2 < 2π < 6,4;
4,65 < $\frac{3\pi}{2}$ < 4,8;
$\frac{3\pi}{2}$ < 5 < 2π;

Ответ: IV.

б) –5;

3,1 < π < 3,2;
6,2 < 2π < 6,4;
4,65 < $\frac{3\pi}{2}$ < 4,8;
$\frac{3\pi}{2}$ < 5 < 2π;
–2π < –5 < $\frac{3\pi}{2}$;
0 < 2π – 5 < $\frac{\pi}{2}$;

Ответ: I.

в) 8;

3,1 < π < 3,2;
7,75 < $\frac{5\pi}{2}$ < 8;
9,3 < 3π < 9,6;
$\frac{5\pi}{2}$ < 8 < 3π;
$\frac{\pi}{2}$ < 8 – 2π < π;

Ответ: II.

г) –8;

3,1 < π < 3,2;
7,75 < $\frac{5\pi}{2}$ < 8;
9,3 < 3π < 9,6;
$\frac{5\pi}{2}$ < 8 < 3π;
–3π < –8 < $-\frac{5\pi}{2}$;
π < 4π – 8 < $\frac{3\pi}{2}$;

Ответ: III.

Любое число $t$ соответствует точке на числовой окружности (единичной окружности), если идти от положительного направления оси $Ox$ на угол $t$ радиан: против часовой — если $t>0$, по часовой — если $t<0$.

Углы, отличающиеся на $2\pi k$ ($k\in\mathbb{Z}$), дают одну и ту же точку. Поэтому удобно привести угол к промежутку $(0,2\pi)$ (или $[0,2\pi)$) — это называется редукцией по модулю $2\pi$.

Границы четвертей в радианах:

• I четверть: $0<\alpha<\tfrac{\pi}{2}$,
• II четверть: $\tfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$,
• III четверть: $\pi<\alpha<\tfrac{3\pi}{2}$,
• IV четверть: $\tfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$.

$$\begin{aligned} &3{,}1<\pi<3{,}2;\\ &1{,}55<\frac{\pi}{2}<1{,}6;\\ &4{,}65<\frac{3\pi}{2}<4{,}8;\\ &6{,}2<2\pi<6{,}4;\\ &7{,}75<\frac{5\pi}{2}<8{,}0;\\ &9{,}3<3\pi<9{,}6;\\ &12{,}4<4\pi<12{,}8. \end{aligned}$$а) $t=5$

Шаг 1. Поместим 5 в коридор между ближайшими кратными $\pi$

По оценкам:

$$4{,}65<\frac{3\pi}{2}<4{,}8<\color{#000}{5}<6{,}2<2\pi<6{,}4.$$

То есть

$$\frac{3\pi}{2}<5<2\pi.$$

Шаг 2. Сопоставим с четвертями

Интервал $\big(\tfrac{3\pi}{2},\,2\pi\big)$ — это ровно IV четверть.

Вывод для (а): IV.

(Эквивалентно можно посмотреть «опорный» угол: $2\pi-5\in(0,\tfrac{\pi}{2})$, значит точка в IV четверти.)

б) $t=-5$

Есть два равноценных пути: либо крутиться по часовой стрелке на 5, либо прибавить $2\pi$ (или несколько раз по $2\pi$), чтобы попасть в $(0,2\pi)$.

Шаг 1. Сравним $-5$ с отрицательными кратными $\pi$

Из $6{,}2<2\pi<6{,}4$ и $4{,}65<\tfrac{3\pi}{2}<4{,}8$ получаем:

$$-6{,}4<-2\pi<-6{,}2<\color{#000}{-5}<-4{,}8<-\frac{3\pi}{2}<-4{,}65.$$

То есть

$$-2\pi<-5<-\frac{3\pi}{2}.$$

Шаг 2. Приведём к $(0,2\pi)$

Прибавим $2\pi$ ко всем частям неравенства:

$$0<2\pi-5<\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно, приведённый угол $\alpha=2\pi-5$ лежит в I четверти.

Вывод для (б): I.

(Эквивалент: $-5\bmod 2\pi=2\pi-5\in(0,\tfrac{\pi}{2})\Rightarrow$ I четверть.)

в) $t=8$

Шаг 1. Найдём соседние кратные $\pi$

Пользуемся оценками:

$$7{,}75<\frac{5\pi}{2}<\color{#000}{8}<9{,}3<3\pi<9{,}6.$$

То есть

$$\frac{5\pi}{2}<8<3\pi.$$

Также заметим, что $2\pi\in(6{,}2,6{,}4)$, значит $8>2\pi$. Привести к $(0,2\pi)$ можно так: $\alpha=8-2\pi$.

Шаг 2. Уточним положение $\alpha=8-2\pi$

Вычитаем $2\pi$ из найденного коридора $\tfrac{5\pi}{2}<8<3\pi$:

$$\frac{5\pi}{2}-2\pi<8-2\pi<3\pi-2\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

Интервал $\big(\tfrac{\pi}{2},\,\pi\big)$ — это II четверть.

Вывод для (в): II.

г) $t=-8$

Шаг 1. Сравним $-8$ с отрицательными кратными $\pi$

Используем:

$$-9{,}6<-3\pi<-9{,}3<\color{#000}{-8}<-8{,}0<-\frac{5\pi}{2}<-7{,}75.$$

Значит

$$-3\pi<-8<-\frac{5\pi}{2}.$$

Шаг 2. Приведём к $(0,2\pi)$ (или $(0,4\pi)$, а затем к $(0,2\pi)$)

Одного прибавления $2\pi$ мало: $-8+2\pi\in(-2,0)$ — всё ещё отрицательный. Прибавим $4\pi$ (то есть ещё $2\pi$):

Прибавляя $4\pi$ к неравенству $-3\pi<-8<-\tfrac{5\pi}{2}$, получаем

$$\pi<\,4\pi-8\,<\frac{3\pi}{2}.$$

То есть приведённый угол $\alpha=4\pi-8$ лежит между $\pi$ и $\tfrac{3\pi}{2}$.

Это ровно III четверть.

Вывод для (г): III.