ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все числа t, которым на числовой окружности (см. рис. 2) соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге (т. е. дуге без её концов):

a) AM; б) СМ; в) МА; г) MC.

(М — середина первой четверти.)

Найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге $(M$ — середина первой четверти);

а) $AM$;

$$0 + 2\pi k < t < \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$2\pi k < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi k;$$

б) $CM$;

$$-\pi + 2\pi k < t < \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$-\pi + 2\pi k < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi k;$$

в) $MA$;

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k;$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < 2\pi + 2\pi k;$$

г) $MC$;

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k < t \leqslant \pi + 2\pi k;$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t \leqslant \pi + 2\pi k;$$

1) Что такое «числовая (тригонометрическая) окружность» и параметр $t$

Каждой точке окружности ставится в соответствие вещественное число $t$ — угол (в радианах), который отсчитывается против часовой стрелки от точки $A$ (положительное направление оси $Ox$).
Из-за периодичности $\;t\sim t+2\pi k$ для любого $k\in\mathbb Z$.

2) Фиксируем ключевые точки и их углы

• $A$: угол $0+2\pi k$.
• $B$: угол $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$.
• $C$: угол $\pi+2\pi k$ (равносильно $-\pi+2\pi k$).
• $M$ — середина первой четверти: среднее между $0$ и $\dfrac{\pi}{2}$,

  $$\angle M=\frac{0+\frac{\pi}{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}+2\pi k.$$

3) Как переводить дугу в неравенства по $t$

Дуга $XY$ означает, что мы идём от $X$ к $Y$ против часовой стрелки.
Тогда множество соответствующих $t$ — это все значения угла между углами $X$ и $Y$ с учётом периодичности.

• Если концы не включены, пишем строгие «$<$».
• Если какой-то конец включён, ставим «$\le$» у соответствующей границы.

Нюанс с переходом через $2\pi$: когда конечный угол «меньше» начального (например, от $\pi$ к $\pi/4$ против часовой стрелки), дуга проходит через $2\pi$. Тогда удобно либо писать объединение двух промежутков в $[0,2\pi)$, либо заменить $\pi$ на $-\pi$ (они сонаправлены), чтобы получить один «сквозной» интервал.

а) Дуга $AM$

Идём против часовой стрелки от $A$ (угол $0$) до $M$ (угол $\frac{\pi}{4}$); концы не включены.
Отсюда

$$0+2\pi k<t<\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+2\pi k,$$

$$0+2\pi k<t<\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+2\pi k, \qquad\text{то же самое}\qquad 2\pi k<t<\frac{\pi}{4}+2\pi k.$$

б) Дуга $CM$

Идём против часовой стрелки от $C$ к $M$. В стандартном представлении это путь от $\pi$ до $2\pi$ и затем от $0$ до $\frac{\pi}{4}$:

$$(\pi,2\pi)\ \cup\ \bigl(0,\tfrac{\pi}{4}\bigr)\quad\text{(в модуле }2\pi\text{)}.$$

Чтобы записать единым интервалом, заменим $\pi$ на эквивалентный угол $-\pi$: тогда дуга — это просто

$$-\pi +2\pi k<t<\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+2\pi k,$$

$$-\pi+2\pi k<t<\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+2\pi k, \qquad\text{то же}\qquad -\pi+2\pi k<t<\frac{\pi}{4}+2\pi k.$$

в) Дуга $MA$

От $M$ $\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)$ до $A$ $(0\ \text{или}\ 2\pi)$ против часовой стрелки — это «вся оставшаяся» часть окружности от $\tfrac{\pi}{4}$ до $2\pi$; концы не включены:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+2\pi k<t<2\pi +2\pi k,$$

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<2\pi+2\pi k, \qquad\text{то же}\qquad \frac{\pi}{4}+2\pi k<t<2\pi+2\pi k.$$

г) Дуга $MC$

От $M$ $\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)$ до $C$ $(\pi)$ против часовой стрелки; по условным записям правый конец $C$ включён (отсюда «$\le$» у правой границы), левый $M$ — нет:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+2\pi k<t\le \pi +2\pi k,$$

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+2\pi k<t\le\pi+2\pi k, \qquad\text{то же}\qquad \frac{\pi}{4}+2\pi k<t\le\pi+2\pi k.$$