ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — первая, ВС — вторая, CD — третья, DA — четвёртая (рис. 2). Опираясь на эту геометрическую модель, решите следующие задачи.

Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвёртая — на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: AM, BD, СК, МР, DM, МК, CP, PC?

Первая четверть разделена пополам точкой $M$, а четвертая четверть разделена на три равные части точками $K$ и $P$.

Найдем длину дуги:

$$AM=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4};$$

$$AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4};$$ $$BD=BC+CD=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi ;$$

$$BD = BC + CD = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi;$$ $$CK=CD+DK=\frac{\pi }{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{4\pi }{6}=\frac{2\pi }{3};$$

$$CK = CD + DK = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3};$$ $$MP=MB+BC+CD+DP=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{19\pi }{12};$$

$$MP = MB + BC + CD + DP = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{19\pi}{12};$$ $$DM=DA+AM=\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};$$

$$DM = DA + AM = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4};$$ $$MK=MB+BC+CD+DK=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{17\pi }{12};$$

$$MK = MB + BC + CD + DK = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{17\pi}{12};$$ $$CP=CD+DP=\frac{\pi }{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6};$$

$$CP = CD + DP = \frac{\pi}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6};$$ $$PC = PA + AB + BC = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}.$$

Для начала давайте разберемся, как устроена единичная окружность и как она разделена. Мы будем использовать единичную окружность с горизонтальным диаметром $CA$ и вертикальным диаметром $DB$, что делит окружность на 4 четверти.

Разбиение окружности на четверти

Единичная окружность разделена двумя диаметрами $CA$ и $DB$ на 4 четверти:

• Первая четверть — это дуга $AB$,
• Вторая четверть — это дуга $BC$,
• Третья четверть — это дуга $CD$,
• Четвертая четверть — это дуга $DA$.

Площадь каждой четверти окружности составит $\frac{\pi}{2}$, так как полный круг $2\pi$ разделен на 4 части.

Разбиение на дополнительные точки

• Первая четверть разделена пополам точкой $M$.
• Четвертая четверть разделена на три равные части точками $K$ и $P$.

Для точности давайте определим, как будет выглядеть разбиение каждой четверти и как это повлияет на длины дуг.

1. Длина дуги $AM$

• Точка $M$ делит первую четверть $AB$ пополам. Поскольку длина дуги $AB$ составляет $\frac{\pi}{2}$, то длина дуги $AM$ будет половиной этой длины:

  $$AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

2. Длина дуги $BD$

• Дуга $BD$ состоит из двух частей: $BC$ и $CD$.
• Длина дуги $BC$ равна $\frac{\pi}{2}$, а длина дуги $CD$ тоже равна $\frac{\pi}{2}$.

  $$BD = BC + CD = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi.$$

3. Длина дуги $CK$

• Точка $K$ делит четвертую четверть $DA$ на три равные части. Поскольку длина дуги $DA$ равна $\frac{\pi}{2}$, то длина дуги $DK$ будет составлять:

  $$DK = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

• Дуга $CK$ состоит из дуги $CD$ и дуги $DK$:

  $$CK = CD + DK = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.$$

4. Длина дуги $MP$

• Точка $P$ делит четвертую четверть $DA$ на три равные части. Длина дуги $DP$ будет составлять:

  $$DP = \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

• Дуга $MP$ состоит из четырех частей:
  • $AM$ — это половина первой четверти, равная $\frac{\pi}{4}$,
  • $MB$ — это оставшаяся половина первой четверти, равная $\frac{\pi}{4}$,
  • $BC$ — вторая четверть, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $CD$ — третья четверть, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $DP$ — это две трети четвертой четверти, равная $\frac{\pi}{3}$.

  Таким образом, длина дуги $MP$ будет:

  $$MP = AM + MB + BC + CD + DP = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{19\pi}{12}.$$

5. Длина дуги $DM$

• Дуга $DM$ состоит из двух частей:
  • $DA$ — это четверть окружности, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $AM$ — это половина первой четверти, равная $\frac{\pi}{4}$.

  Таким образом, длина дуги $DM$ будет:

  $$DM = DA + AM = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$

6. Длина дуги $MK$

• Дуга $MK$ состоит из нескольких частей:
  • $MB$ — это половина первой четверти, равная $\frac{\pi}{4}$,
  • $BC$ — это вторая четверть, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $CD$ — это третья четверть, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $DK$ — это треть четвертой четверти, равная $\frac{\pi}{6}$.

  Таким образом, длина дуги $MK$ будет:

  $$MK = MB + BC + CD + DK = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{12}.$$

7. Длина дуги $CP$

• Дуга $CP$ состоит из двух частей:
  • $CD$ — третья четверть, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $DP$ — это две трети четвертой четверти, равная $\frac{\pi}{3}$.

  Таким образом, длина дуги $CP$ будет:

  $$CP = CD + DP = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}.$$

8. Длина дуги $PC$

• Дуга $PC$ состоит из трех частей:
  • $PA$ — это треть окружности, равная $\frac{\pi}{6}$,
  • $AB$ — это четверть окружности, равная $\frac{\pi}{2}$,
  • $BC$ — это еще одна четверть окружности, равная $\frac{\pi}{2}$.

  Таким образом, длина дуги $PC$ будет:

  $$PC = PA + AB + BC = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}.$$

Ответы:

• $AM = \frac{\pi}{4}$
• $BD = \pi$
• $CK = \frac{2\pi}{3}$
• $MP = \frac{19\pi}{12}$
• $DM = \frac{3\pi}{4}$
• $MK = \frac{17\pi}{12}$
• $CP = \frac{5\pi}{6}$
• $PC = \frac{7\pi}{6}$